Задание 7 ЕГЭ по профильной математике

Задание на вычисление значения выражения решается в две-три строки, и ошибка в нём почти всегда одна: потерянный знак или свойство, применённое там, где оно не работает. После этого цепочка равенств продолжается так же уверенно, как если бы всё было верно, и сомнение не возникает до самого ответа. В первой части оценивается только конечное число, поэтому единственная защита от такой ошибки состоит в привычке считать второй раз другим способом.

Под номером 7 в демоверсиях последних лет стоит именно такое выражение: степени, корни, логарифмы или тригонометрия, ответ числом. Нумерация профильной математики за последние годы менялась, поэтому номер лучше сверять по демоверсии своего года. Умение вычислять и преобразовывать от номера не зависит, и в школе его проверяют на каждой контрольной по алгебре, только выражения там короче и без логарифмов. Как устроен весь экзамен, описано в статье про структуру ЕГЭ по профильной математике, а общий порядок работы с первой частью разобран в материале о том, как её закрыть.

Что здесь проверяют и откуда это берётся

Задание собирает несколько отдельных разделов школьной алгебры, которые в курсе стоят далеко друг от друга. Степени и корни проходят в седьмом и восьмом классах, логарифмы и тригонометрические формулы появляются в десятом и одиннадцатом, и между ними лежат годы, за которые правила успевают забыться. Поэтому на экзамене выражение выглядит как набор знакомых значков, из которых применить нужно один-два.

Перед тем как считать, выражение полезно прочитать целиком и назвать, какие два свойства в нём спрятаны. Эта пауза занимает несколько секунд, а экономит минуты, потому что ученик, схватившийся за арифметику с первого знака, обычно уходит от короткого пути и тащит за собой большие числа.

По кодификатору проверяется умение выполнять вычисления и преобразования, то есть привести выражение к виду, в котором оно считается без калькулятора. Вычислительных средств на профильной математике в аудитории нет, так что любое число в условии подобрано так, чтобы красиво сократиться. Это надёжный признак: если у вас получилась дробь с корнем из семнадцати, где-то раньше свернули не туда. Красивый ответ служит проверкой, и пользоваться ею стоит.

В статье о темах, которые западают чаще всего логарифмы и тригонометрия названы среди первых. Для этого задания новость хорошая: набор нужных свойств и значений невелик, он выучивается за неделю нормальных занятий, и дальше задание превращается в аккуратное упражнение на внимание.

Логарифмы: где теряется основание

Самая частая причина неверного ответа в логарифмическом выражении лежит на уровне основания. Ученик знает, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, и безошибочно пользуется этим, но стоит основанию стать степенью, как формула вспоминается наполовину.

Вот что нужно держать под рукой и проговаривать вслух, пока оно не начнёт срабатывать само:

• логарифм произведения по одному основанию равен сумме логарифмов, а логарифм частного равен разности
• степень под знаком логарифма выносится множителем: логарифм от a в степени k равен k, умноженному на логарифм от a
• степень в основании выносится делителем: логарифм числа b по основанию a в степени k равен логарифму b по основанию a, делённому на k
• основное тождество: a в степени «логарифм b по основанию a» равно b, причём a положительно и не равно единице

Теперь числа. Логарифм 8 по основанию 4: четыре — это два в квадрате, восемь — два в кубе, поэтому по третьему правилу получается три, делённое на два, то есть 1,5. Логарифм 48 по основанию 2 минус логарифм 3 по тому же основанию сворачивается в логарифм 16, а он равен четырём. В обоих случаях значения логарифмов по отдельности знать не нужно: условие всегда устроено так, чтобы они сворачивались в одно.

Ещё одна заготовка, которая встречается в разных нарядах: произведение двух логарифмов, где основание второго совпадает с числом под первым. Логарифм 5 по основанию 2, умноженный на логарифм 8 по основанию 5, сворачивается в логарифм 8 по основанию 2, то есть в тройку. Пятёрки сократились, как сокращаются дроби, и это самое удобное мысленное правило для такого произведения.

Отдельная ловушка: логарифм суммы никак не раскладывается. Если в выражении видна запись «логарифм от a плюс b», ничего с ней сделать нельзя, и это сигнал, что вы ищете преобразование там, где его нет, а настоящее лежит шагом раньше.

Корни и степени, а затем один разбор целиком

Выражения со степенями ломают реже, но по одной и той же причине. Корень из квадрата числа равен модулю числа, а не самому числу. Корень из выражения «три минус пять, всё в квадрате» равен двум, потому что под корнем стоит четыре, и ответ «минус два» возникает у каждого, кто сначала сократил корень со степенью, а потом считал скобку. Порядок действий здесь решает: сначала вычисляется то, что внутри, потом извлекается корень.

С дробным показателем работает один приём: показатель превращается в «корень и степень». Восемь в степени две трети равно квадрату кубического корня из восьми, то есть двум в квадрате, то есть четырём. Если показатель отрицательный, ответ переворачивается, и этот переворот лучше делать последним шагом: когда его делают первым, знак показателя в дальнейших строках теряется чаще всего.

При отрицательных основаниях осторожность нужна вдвое. Минус два в четвёртой степени, если минус внесён в скобку, равно шестнадцати, а запись, где минус стоит перед степенью без скобок, даёт минус шестнадцать. Условие бывает написано и так, и так, и скобки в нём значимы.

Теперь разберём одно выражение от начала до конца. Дано произведение: корень из квадрата разности «три минус пять», умноженный на логарифм 8 по основанию 4, и всё это поделено на три. Здесь собраны сразу три ловушки из предыдущих абзацев, и последовательность такая.

Сначала вычисляется скобка: три минус пять равно минус двум, в квадрате четыре, корень из четырёх равен двум. Модуль мы не писали, но вычислением по порядку получили то, что он дал бы. Затем логарифм: по правилу о степени в основании это 1,5. Дальше арифметика: два умножить на 1,5 равно трём, три разделить на три — единица.

Теперь о том, как этот разбор записывать на черновике. Шаги идут столбиком, по одному действию в строке, и каждая строка начинается с равенства. Привычка уместить всё в одну длинную строку красива, но при проверке вы ищете ошибку в ней как иголку, а в столбике возвращаетесь ровно к одной строке. На это никто не обращает внимания, пока черновик не понадобился.

Тригонометрия с числовым ответом

В этом варианте задания дают выражение вроде четырёх синусов семидесяти пяти градусов на косинус семидесяти пяти. Решается оно одной формулой: удвоенное произведение синуса на косинус одного угла равно синусу двойного угла. Четыре таких произведения — это два синуса стопятидесяти градусов, а синус 150 градусов равен синусу тридцати, то есть одной второй. Ответ — единица.

Идея всегда одна: узнать в записи формулу двойного угла, формулу приведения или основное тождество и свернуть выражение. Ни одна из них не требует вычислять синус семидесяти пяти градусов в лоб. Если вы начали считать значение, которого нет в таблице, остановитесь и спросите, какая формула в выражении спрятана.

Формулы приведения в школе обычно заучивают, и по-моему это самый хрупкий способ: через месяц он ломается, а на экзамене никто не подскажет. Надёжнее два коротких вопроса вслух. Первый: в какой четверти лежит угол, и какой знак у исходной функции в этой четверти. Второй: меняется ли название функции, а это зависит от того, откуда отсчитан поворот, от горизонтальной оси или от вертикальной. С этими вопросами знак и название перестают путаться, и таблица в голове не нужна.

Отдельно о радианах. Условие часто даёт углы в долях числа пи, и ученик, привыкший к градусам, пересчитывает их на каждой строке. Пересчёт правильный, но он съедает время и открывает ещё одно место для ошибки, поэтому значения для пи на шесть, на четыре и на три лучше выучить сразу в радианах.

Запись ответа и самопроверка

Ответ в первой части — целое число или конечная десятичная дробь; обыкновенная дробь не принимается, и три вторых нужно перевести в 1,5. Десятичный знак в бланке пишется запятой, по одному символу в клетке, без пробелов и единиц измерения, а знак «минус» занимает отдельную клетку перед числом.

Проверка занимает минуту и ловит больше, чем кажется. Оцените ответ грубо: логарифм 8 по основанию 4 лежит между единицей и двойкой, потому что четыре меньше восьми, но меньше шестнадцати, и значение 1,5 туда попадает. Ответ «минус три» отсеялся бы сразу. Так же знак тригонометрического ответа проверяется по четверти угла.

Если не идёт

Сначала определите, что именно не получается: преобразование или арифметика. Если формулу вы знаете, но не видите, где её применить, нужны тренировки на готовых выражениях, по пять-шесть штук в день. Если формулы выпали из памяти, начинать нужно с короткого повторения материала десятого класса, а не с вариантов: вариант покажет, что вы ошибаетесь, но не покажет, в чём.

Есть и признак того, что дело не в этом номере. Если знаки теряются ещё и в уравнениях, и в неравенствах, и при раскрытии скобок в задачах о движении, проблема лежит ближе к седьмому классу, чем к одиннадцатому: действия с отрицательными числами и скобками не доведены до автоматизма. Тогда логарифмы подождут, а две недели уйдут на обычные примеры со скобками, и лишь потом имеет смысл возвращаться к заданию. С репетитором такую диагностику проще всего пройти на первом занятии, по одной тетради с решениями.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы с пробным уроком по математике для ЕГЭ
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Дальше по порядку идёт задание 8, где вместо вычислений нужно читать графики, а перед этим стоит шестое, посвящённое уравнениям.

Вопросы и ответы

Можно ли пользоваться формулами, записанными на черновике? Черновик у вас свой, и записывать на нём можно что угодно. Готовую справку с формулами в аудиторию проносить нельзя: правила проведения разрешают только то, что названо в них прямо, и перед экзаменом это лучше перечитать.

Сколько таких выражений стоит решить за неделю? Хватит двадцати-тридцати, если каждое сопровождается проверкой ответа вторым способом. Сорок выражений без проверки дадут меньше, чем двадцать с ней.

Что делать, если логарифм по основанию, которое не получается свести к одному? Использовать формулу перехода к другому основанию: логарифм b по основанию a равен логарифму b по основанию c, делённому на логарифм a по основанию c. Основание c выбирают так, чтобы оба числа выражались через него, обычно это двойка или тройка.