Квадратные и кубические корни

С корнями ученик обычно знакомится в восьмом классе и сразу попадает в зону, где школьные правила звучат похоже, а работают по-разному: корень из суммы нельзя разбить на сумму корней, а уравнение с корнем без проверки даёт лишний ответ. Всё это ошибки не в вычислениях, а в условиях: ученик помнит формулу и забывает, когда она работает. В профильном ЕГЭ корни встречаются в вычислениях и преобразованиях первой части, и калькулятора там нет.

Начать стоит со смысла через площадь и объём, затем перейти к свойствам вместе с условиями и к приёмам для вычислений, и в конце разобрать ошибки, которые встречаются даже у тех, кто знает формулы наизусть и которые лучше увидеть заранее на примерах, чем обнаружить в контрольной.

Что такое корень и откуда он берётся

Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Запись √9 = 3 читается так: девять — это площадь квадрата со стороной три. Отсюда и ограничение, которое надо знать с первого дня: подкоренное число не может быть отрицательным, потому что квадрат любого числа неотрицателен, и площадь не бывает меньше нуля. Выражение √(−4) в школьном курсе не имеет смысла, а √0 = 0.

Иррациональные корни появляются в геометрии сразу: диагональ квадрата со стороной один равна √2 по теореме Пифагора, потому что 1² + 1² = 2. Так что корень — это длина отрезка, который можно нарисовать, хотя конечной дробью его длину записать нельзя.

Самая вредная неточность, которая встречается в разговорах про корни, — запись √9 = ±3. Корень извлекается один раз и даёт одно число, неотрицательное: √9 = 3. А вот уравнение x² = 9 имеет два решения, 3 и −3, и запись x = ±√9 для него правильна. Эти два случая нужно разводить с самого начала: корень — это операция, а уравнение — задача, в которой корень лишь один из инструментов. Уравнение x² = −4 решений не имеет, потому что квадрат не бывает отрицательным, и уравнение √x = −2 тоже не имеет решений, ведь корень не бывает отрицательным.

Кубический корень вводится так же через объём: куб с объёмом 27 имеет ребро ∛27 = 3, а ∛8 = 2. Но у кубического корня есть существенное отличие: его можно извлекать из отрицательного числа, потому что куб отрицательного числа отрицателен. ∛(−27) = −3, и проверка: (−3)³ = −27. Корень чётной степени из отрицательного числа в школьном курсе не берётся, а корень нечётной степени берётся из любого числа.

Оценка и сравнение: корни, которые не извлекаются нацело

Большинство корней нацело не извлекается. Число √2 нельзя записать ни конечной дробью, ни периодической: это иррациональное число, у которого после запятой идёт бесконечная цепочка цифр без повторения. Тем не менее его можно оценить. Если 1,41² = 1,9881, а 1,42² = 2,0164, то √2 лежит между 1,41 и 1,42.

Чаще нужна оценка попроще: между какими целыми числами лежит корень. Для √50 достаточно знать квадраты 7² = 49 и 8² = 64: так как 49 < 50 < 64, корень из 50 больше семи и меньше восьми. Поэтому таблицу квадратов до двадцати стоит помнить наизусть, как в статье о степенях.

С помощью оценки сравнивают числа без калькулятора. Что больше, √7 или 2,6? Возведём 2,6 в квадрат: 2,6² = 6,76, а это меньше семи, значит, √7 больше 2,6. Или 3√2 и 2√3: внесём множители под корень, 3√2 = √18, 2√3 = √12, и 18 больше 12, значит, 3√2 больше. Сравнивать так можно только неотрицательные числа, у отрицательных всё наоборот. Приём сложнее, когда корней несколько: чтобы понять, что больше, √5 + √3 или 4, обе части неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат, сохранив знак неравенства. Слева получается 5 + 3 + 2√15 = 8 + 2√15, справа 16, и остаётся сравнить 2√15 с 8, то есть √60 с 8, то есть 60 с 64. Шестьдесят меньше, значит, сумма корней меньше четырёх.

Свойства корней и условия, при которых они верны

Корень произведения равен произведению корней: √(ab) = √a · √b, при условии что a и b неотрицательны. Корень дроби равен дроби корней: √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0 и b > 0. Квадрат корня возвращает подкоренное число: (√a)² = a при a ≥ 0.

Посчитаем. √12 · √3 = √36 = 6. √50 · √2 = √100 = 10. Свойство работает и в обратную сторону, и это основа для упрощений: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Здесь выделен самый большой квадрат, который делит 72, и вынесен за знак корня.

Корень из дроби считают отдельно в числителе и в знаменателе: √(49/4) = 7/2. С десятичными дробями то же самое, нужно лишь следить за запятой: √0,09 = 0,3, потому что 0,3² = 0,09, а √0,0004 = 0,02, потому что 0,02² = 0,0004. Здесь пригодится умение обращаться с запятой, о котором в статье про десятичные дроби.

Ни одно из этих свойств не относится к сумме. √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Ответы разные, и это сразу видно на цифрах: корень из суммы нельзя разбить на сумму корней. Ошибку почти всегда делают в выражениях с буквами, где проверка на числах в голову не приходит: √(a² + b²) не равно a + b. Проверка на числах: при a = 3 и b = 4 слева √25 = 5, справа 7. Такие подмены формул входят в число тем, на которых школьники теряются чаще всего, они собраны в обзоре тем, которые западают.

И самое важное свойство, которое чаще всего теряют: √(a²) = |a|. Если a = −3, то √((−3)²) = √9 = 3, а это модуль числа. Равенство √(a²) = a верно только при a ≥ 0. О модуле подробнее — в статье про модуль, там же объяснено, откуда берётся эта оговорка.

Вынесение множителя и избавление от корня в знаменателе

Корни в ответе принято упрощать. Вынесем множитель: √72 = 6√2, как выше. Внесём множитель: 3√2 = √(9 · 2) = √18. Оба приёма нужны, чтобы привести выражения к одному виду и сравнить или сложить. Складывать можно только подобные корни: 3√2 + 5√2 = 8√2, а 3√2 + 5√3 так и остаётся записанным.

Отсюда ещё один приём: корни, которые на вид разные, иногда оказываются подобными после вынесения множителя. √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2, потому что √8 = √(4 · 2) = 2√2 и √18 = √(9 · 2) = 3√2. Или √20 − √5 = 2√5 − √5 = √5. Прежде чем объявлять, что корни сложить нельзя, стоит проверить, нет ли под каждым из них большого квадрата.

В знаменателе корень оставлять не принято, и от него избавляются, умножая числитель и знаменатель на один и тот же множитель, не равный нулю. 1/√2 = √2/(√2 · √2) = √2/2. 6/√3 = 6√3/3 = 2√3. Если в знаменателе разность или сумма корней, пользуются формулой разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b², о ней в статье про формулы сокращённого умножения. Например, 1/(√3 − 1): умножим числитель и знаменатель на (√3 + 1), тогда в знаменателе (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2, а ответ (√3 + 1)/2. Другой пример: (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1.

Уравнения с корнем: зачем нужна проверка

Уравнение x² = 5 решается без проверки: x = √5 или x = −√5, оба числа подходят, потому что их квадрат равен пяти. Простое уравнение √(x + 2) = 3 решается возведением обеих частей в квадрат: x + 2 = 9, x = 7. Подставим: √9 = 3, всё сходится.

Сложнее, когда справа неизвестное. Решим √(x + 2) = x. Возведём в квадрат: x + 2 = x², откуда x² − x − 2 = 0, и корни этого уравнения 2 и −1. Проверим оба. При x = 2: √4 = 2, равенство верно. При x = −1: √1 = 1, а справа −1, равенство неверно. Значит, −1 — посторонний корень, и ответ один, x = 2.

Посторонний корень появляется потому, что при возведении в квадрат мы теряем знак: −1 и 1 дают один и тот же квадрат. Поэтому в уравнениях с корнем проверка обязательна. Можно обойтись и без подстановки: левая часть, корень, неотрицательна, значит, и правая часть x должна быть неотрицательной, и число −1 в это условие не попадает. Это тот случай, когда потерянное условие стоит всего ответа.

Где корни встречаются на экзамене и как объяснять дома

Упростите √72 − √50 + √2. Вынесем множители: 6√2 − 5√2 + √2 = 2√2. Если у вас получилось что-то другое, проверьте, не складывали ли вы подкоренные числа: складывать можно только подобные корни, то есть корни с одним и тем же числом под знаком.

Дома хорошо работает один приём: перед любым преобразованием проверять его на числах. Хочется написать √(a + b) = √a + √b — подставьте 9 и 16. Хочется написать √(x²) = x — подставьте −3. Две подстановки занимают несколько секунд и ловят большинство ошибок раньше, чем они попадут в тетрадь.

Начать поиск:

• преподаватели математики
• подготовка к 9 классу и ОГЭ по математике
• профильная математика для ЕГЭ с репетитором

Вопросы и ответы

Чему равно √16: четырём или плюс-минус четырём? Четырём. Корень — это одно неотрицательное число. Если в задаче нужно решить x² = 16, ответом будут 4 и −4, и вот здесь знак «плюс-минус» законен.

Можно ли извлечь корень из отрицательного числа? Квадратный нельзя, а кубический можно: ∛(−8) = −2. Для корней чётных степеней (квадратного, четвёртой степени) подкоренное число должно быть неотрицательным, для нечётных (кубического, пятой степени) ограничений нет.

Зачем избавляться от корня в знаменателе, если ответ и так верный? Это соглашение о записи: так проще сравнивать и складывать выражения, и в таком виде их принято давать в ответе. Значение от этого не меняется, 1/√2 и √2/2 — одно и то же число.

Как быстро понять, между какими целыми лежит корень? Нужно знать таблицу квадратов и найти два соседних квадрата, между которыми лежит число. Для 50 это 49 и 64, значит, √50 между 7 и 8. Для кубических корней та же логика с кубами: 27 и 64 дают ответ для ∛50, она лежит между 3 и 4. На экзамене такая оценка помогает отсеять неверный ответ; как он устроен в целом, показывает разбор структуры профильной математики.

Как быстро извлечь корень из числа вроде 1225? Если число оканчивается на 25, это может быть квадрат числа, оканчивающегося на 5. Отбросим 25: остаётся 12. Это должно быть произведение двух соседних чисел, и действительно 3 · 4 = 12, значит, корень равен 35, и проверка 35² = 1225 сходится. Приём работает именно для чисел, которые заканчиваются на 25 и являются квадратами, для других нужна другая оценка.