Степени и действия со степенями

Степень — тема, где одна неверная строка в таблице свойств портит всё решение, а ученик этого не замечает: 2³ · 3² = 6⁵ выглядит как применение правила, но это ошибка, причём большая. Разберём степень с нуля: смысл, затем свойства вместе с условиями, затем нулевой, отрицательный и дробный показатели. Каждый пример посчитан, ответ можно проверить на бумаге. Такие вычисления встречаются в первой части ЕГЭ по математике внутри заданий на вычисления и преобразование выражений, а калькулятора там нет.

Что значит запись a в степени n

Степень с натуральным показателем означает произведение одинаковых множителей: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, 3⁴ = 81. Число, которое умножают, называют основанием, количество множителей показателем. Вторую степень называют квадратом, третью кубом. Первая степень любого числа равна самому числу: 7¹ = 7.

Возведение в степень в порядке действий стоит выше умножения. Выражение 2 · 3² означает 2 · 9 = 18, потому что в квадрат возводится тройка, а не вся запись. Если же в квадрат нужно возвести произведение, его берут в скобки: (2 · 3)² = 6² = 36. Похожая пара: 3 · 2³ = 3 · 8 = 24, а (3 · 2)³ = 216. Скобки здесь меняют ответ, и ученики, которые их не замечают, получают пример, решённый по-другому.

Чаще всего ученик путает показатель с множителем. Запись 2⁵ не значит 2 · 5 = 10, она значит пять двоек, перемноженных друг на друга. Стоит один раз на примере посчитать оба варианта (32 и 10) и подчеркнуть разницу, потом ошибка почти не возвращается. Ещё одно убеждение, которое приходится поправлять: будто возведение в степень всегда увеличивает число. Для основания больше единицы так и есть, а у положительного основания меньше единицы всё наоборот: 0,5² = 0,25, и (1/2)³ = 1/8 меньше, чем 1/2.

Квадраты до двадцатого и степени двойки до десятой стоит знать наизусть: это быстрее, чем считать каждый раз. 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 20² = 400, 2¹⁰ = 1024. В задачах на вычисления такие числа встречаются на каждом шагу, и узнать 196 как 14² проще, чем искать корень.

Свойства степеней и условия, с которыми они работают

Пять свойств записываются одной строкой каждое. Условия там такие же важные, как сами формулы, потому что потеря условия порождает ошибки.

• при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ;
• при делении показатели вычитают: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, причём a не равно нулю, поскольку на нуль делить нельзя;
• при возведении степени в степень показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ;
• степень произведения равна произведению степеней: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ;
• степень дроби равна дроби степеней: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ, причём b не равно нулю.

Посчитаем по каждому. 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128, и действительно 8 · 16 = 128. 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25. (3²)³ = 3⁶ = 729, и действительно 9³ = 729. (2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36, и это то же, что 6². (2/3)³ = 8/27.

Почему свойства работают, видно из определения. В 2³ · 2⁴ первый сомножитель — три двойки, второй — четыре, и вместе их семь, поэтому 2⁷. В (3²)³ три раза повторяется 3², то есть 3² · 3² · 3², и всего в произведении шесть троек. Если запомнить это объяснение вместо формулы, показатели не придётся путать, где складывать, где перемножать. Общая схема экзамена, где такие вычисления стоят, есть в разборе структуры профильного ЕГЭ.

Все свойства связаны с основанием. Складывать показатели можно только если основания одинаковы. Школьник, который видит 2³ · 3², хочет «сложить показатели» и получить 6⁵, но основания разные, и правило к этому примеру не относится. Верно считается так: 8 · 9 = 72, а 6⁵ = 7776. Ошибка больше чем в сто раз.

Свойства относятся к умножению, делению и возведению в степень, но не к сложению. Сумма степеней не превращается ни в какую одну степень: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, а 2⁷ = 128. То же с квадратом суммы: (2 + 3)² = 25, и это не 2² + 3² = 13. Правильную раскладку даёт формула, о ней в статье формулы сокращённого умножения.

Нулевой и отрицательный показатель

Нулевая степень любого числа, кроме нуля, равна единице: 7⁰ = 1. Обоснование берётся из свойства деления: 5³ : 5³ равно единице, потому что делим число на само себя, и одновременно равно 5³⁻³ = 5⁰. Значит, 5⁰ = 1, иначе свойства перестали бы работать. Выражение 0⁰ в школьном курсе не определено, и считать его единицей или нулём нельзя.

Отрицательный показатель означает обратное число: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, причём a не равно нулю. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. 10⁻² = 1/100 = 0,01. Если основание дробь, то степень переворачивает её: (1/2)⁻² = 2² = 4. Это то же свойство деления: 2² : 2⁵ = 2⁻³, и в десятичной записи получается 4 : 32 = 1/8, всё сходится.

Отрицательный показатель не делает число отрицательным. 2⁻³ равно 1/8, отрицательным оно не становится: знак числа определяется основанием, показатель определяет, насколько число большое или маленькое. При основании больше единицы значение приближается к нулю по мере того, как показатель уменьшается, но нулём не становится никогда. Свойства при этом остаются прежними: 2⁻³ · 2⁵ = 2⁻³⁺⁵ = 2² = 4, и проверка через дробь сходится: (1/8) · 32 = 4. Ученики обычно теряют знак при сложении показателей, поэтому такие примеры полезно проверять вторым способом.

С показателями, которые представляют собой степени десяти, связана запись больших и малых чисел: 3,5 · 10⁴ = 3,5 · 10000 = 35000 и 0,00042 = 4,2 · 10⁻⁴, потому что 4,2 : 10000 = 0,00042. В такой записи удобно сравнивать положительные числа: если множитель в каждом лежит между единицей и десятью, сначала смотрят на показатель десяти, потом на множитель. Подробнее о десятичных числах — в статье десятичные дроби и действия с ними.

Дробный показатель и связь с корнями

Корень можно записать степенью: 9^(1/2) = √9 = 3, 8^(1/3) = ∛8 = 2. Для показателя с числителем отличным от единицы корень извлекают из числа и возводят в степень: 8^(2/3) = (∛8)² = 4, 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8. Отрицательный дробный показатель сочетает оба правила: 4^(−1/2) = 1/√4 = 1/2.

Почему степень с показателем 1/2 оказывается именно корнем, объясняет свойство возведения степени в степень. Если 9^(1/2) возвести в квадрат, получится 9^(1/2 · 2) = 9¹ = 9. Значит, 9^(1/2) — число, квадрат которого равен девяти, а таким положительным числом является корень из девяти, то есть тройка.

В школьном курсе такие степени вводятся для положительного основания: у отрицательного числа дробная степень не определена, и условие «основание положительно» нередко теряется. Что это за корни и какие у них ограничения, подробно разобрано в статье квадратные и кубические корни.

Знак и скобки

Знак степени определяется скобками, и эта ошибка доживает до одиннадцатого класса. (−2)⁴ = 16, потому что в четвёртую степень возводят всё число с минусом, а −2⁴ = −16, потому что возводят двойку, а минус остаётся снаружи. Нечётная степень сохраняет знак: (−2)⁵ = −32. Чётная степень отрицательного числа положительна: у выражения (−7)² знак «плюс». Потерянные скобки — из тех ошибок, на которых школьники теряются чаще всего, смотрите обзор таких тем.

Эта же тема сходится с модулем: (−5)² = 25 = |−5|², а √((−5)²) = √25 = 5: корень возвращает модуль.

К степеням же относится сравнение чисел. Что больше, 2¹⁰⁰ или 3⁵⁰? Считать сами числа бессмысленно. Запишем 2¹⁰⁰ = (2²)⁵⁰ = 4⁵⁰: показатели у обеих степеней теперь одинаковые, а основание четыре больше трёх, значит, больше 2¹⁰⁰. Приём годится для положительных оснований: привести показатели или основания к общему виду и сравнить то, что осталось. О модуле — в статье модуль числа: что это и зачем.

Как объяснять и тренировать

Допустим, девятиклассник пишет 2³ · 3² = 6⁵ и уверен, что применил правило. Не говорите ему, что это ошибка: попросите посчитать обе части. Слева 8 · 9 = 72, справа 6⁵ = 7776, и равенство рассыпается без вашего участия. После такого опыта правило про одинаковые основания запоминается как условие, без которого формула не работает.

Хорошее упражнение — приводить к одному основанию. Вычислим (3⁴ · 9²) : 27³. Заметим, что 9 = 3² и 27 = 3³. Тогда 9² = 3⁴, 27³ = 3⁹, числитель равен 3⁴ · 3⁴ = 3⁸, дробь равна 3⁸ : 3⁹ = 3⁻¹ = 1/3. Ещё пример: (2⁵ · 2⁻²) : 2² = 2⁵⁻²⁻² = 2¹ = 2. Когда приёмы с одним основанием отработаны, можно перейти к задачам, где основания разные, но связаны, как 4, 8 и 16 с двойкой: 4 · 8 · 16 = 2² · 2³ · 2⁴ = 2⁹ = 512, и если потом надо ещё разделить на 2⁷, то 2⁹ : 2⁷ = 2² = 4, что заметно быстрее, чем перемножать числа подряд и делить столбиком. Прежде чем считать степень, спросите себя, нельзя ли записать все числа через одно основание, обычно это двойка или тройка.

Разберите выражение (2⁻¹ · 4²) : 8. Запишем 4² = 2⁴, тогда 2⁻¹ · 2⁴ = 2³ = 8, и 8 : 8 = 1. Получилось другое число — значит, скорее всего, показатели складывали с потерей знака у минус единицы.

Начать поиск:

• репетиторы математики
• математика для девятого класса
• готовиться к профильному экзамену вместе с репетитором

Вопросы и ответы

Чему равно 0⁰? В школьном курсе это выражение не определено. Считать его единицей или нулём нельзя: у каждого из этих ответов есть своё обоснование, и они противоречат друг другу.

Почему любое число в нулевой степени равно единице? Потому что иначе перестанет работать правило деления степеней. Поделим 4³ на 4³: получим единицу, а по правилу показатели вычитаются, и выходит 4⁰. Условие одно: основание не нуль.

Как возвести в степень сумму? Не раскладывать по свойству произведения: (a + b)² не равно a² + b². Для квадрата суммы есть формула (a + b)² = a² + 2ab + b², она разобрана в статье про формулы сокращённого умножения. Проверить её можно на числах: (2 + 3)² = 25, и 4 + 12 + 9 = 25.

Откуда у квадрата возникает минус, если квадрат всегда положителен? Он не возникает: (−2)² = 4, а −2² = −4 — это минус от квадрата двойки. Разница только в скобках.

Чему равно 2 в степени 3 в степени 2? Запись без скобок читается сверху вниз: сначала 3² = 9, потом 2⁹ = 512. Если скобки поставить иначе, (2³)² = 8² = 64, и число получится другое. Поэтому в сложных записях скобки лучше не опускать, даже когда кажется, что и так понятно.