Неравенства во второй части ЕГЭ по математике

Показательное или логарифмическое, иногда с заменой переменной, иногда с дробью: именно такое неравенство стоит в середине второй части профильной математики по демоверсиям последних лет. Ошибка в нём коварнее, чем в уравнении. Неверный ответ уравнения чаще всего виден сразу: корень не подходит при подстановке. Неверное неравенство выглядит убедительно, промежутки записаны аккуратно, скобки стоят, и только сверка с областью определения показывает, что половина ответа лишняя. Критерии оценивания и число баллов за задание берите из демоверсии 2027 года на сайте ФИПИ: мои цифры были бы догадкой, поэтому в тексте их нет.

Показательное и логарифмическое неравенства ломаются в разных местах, а причина потерь у них одна: условия, которые решающий сам записал в начале, к концу решения теряются.

По порядку в работе неравенство идёт сразу за стереометрией, которую, как сказано в статье о структуре, пропускают чаще остальных заданий. Выходит, что тот, кто стереометрию отложил, добирается до неравенства с запасом времени, и распорядиться этим запасом стоит заранее. Узнать, сколько листов чистовика уходит на каждое задание, можно только на пробных вариантах, решённых целиком и на время.

Показательное неравенство с заменой

Условие придумано для этого разбора: 25^x − 6·5^x + 5 ≤ 0. Квадратное неравенство спрятано в степенях, потому что 25^x равно (5^x)². Заменяем t = 5^x, и остаётся t² − 6t + 5 ≤ 0, то есть (t − 1)(t − 5) ≤ 0, откуда 1 ≤ t ≤ 5. В начале замены стоит дописать, что t положительно: здесь это выполнено само собой, но запись показывает эксперту, что вы понимаете, откуда берётся ограничение, и в других неравенствах оно может оказаться решающим.

Дальше возвращаемся к x. Неравенство 1 ≤ 5^x ≤ 5 переписывается как 5^0 ≤ 5^x ≤ 5^1. Основание 5 больше единицы, показательная функция возрастает, знаки сохраняются, и получается 0 ≤ x ≤ 1.

Самая частая беда этого типа случается уже после верного квадратного неравенства: ученик переписывает «x от 1 до 5», забыв, что границы 1 и 5 относятся к t.

Замена бывает и скрытой. В неравенстве 4^x − 2^(x+1) − 8 ≥ 0 сначала нужно увидеть, что 2^(x+1) равно 2·2^x, а 4^x равно (2^x)². После замены t = 2^x остаётся t² − 2t − 8 ≥ 0, то есть (t − 4)(t + 2) ≥ 0, и решение квадратного неравенства даёт t ≤ −2 или t ≥ 4. Здесь пометка «t положительно» уже решает дело: первый промежуток отпадает, остаётся t ≥ 4, и 2^x ≥ 4 даёт x ≥ 2. Кто ограничение не записал, тот рискует решать 2^x ≤ −2 и не заметить, что у такого неравенства решений нет: показательная функция отрицательных значений не принимает.

Логарифмическое неравенство: две ловушки в одной строке

Теперь неравенство: логарифм по основанию 1/2 от выражения x² − 3x не меньше −2. Здесь работают сразу два правила, и баллы теряют на каждом по отдельности.

Область определения: под логарифмом положительное число, x² − 3x > 0, откуда x < 0 или x > 3. Эту запись делают первой строкой решения.

Знак: основание 1/2 меньше единицы, логарифмическая функция убывает, и при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Число −2 записывают как логарифм по тому же основанию: (1/2) в степени −2 равно 4, значит, −2 есть логарифм четырёх по основанию 1/2. Получается x² − 3x ≤ 4, то есть (x − 4)(x + 1) ≤ 0, откуда −1 ≤ x ≤ 4.

Остаётся пересечь это с областью определения. Выходит x от −1 включительно до 0 не включая, а ещё x от 3 не включая до 4 включительно. В записи: [−1; 0) ∪ (3; 4]. Концы проверяются просто. При x = −1 под логарифмом стоит 4, логарифм равен −2, неравенство нестрогое, точка входит. При x = 0 и x = 3 под логарифмом нуль, значений нет, точки не входят.

Если забыть про смену знака, получится x² − 3x ≥ 4 и после пересечения с областью определения ответ (−∞; −1] ∪ [4; +∞). Он выглядит прилично, и ошибку находит только подстановка: при x = −5 под логарифмом 40, а логарифм сорока по основанию 1/2 близок к −5,3 и меньше −2. Точка в ответ попала, неравенству не удовлетворяет.

Куда пропадает область определения

Это самая частая причина потерь в задании, и для неё не нужна ни хитрая идея, ни продвинутый метод. Решающий в начале упоминает область определения, потом решает неравенство, а в конце выписывает ответ из последнего шага и про начальное условие забывает. Эксперт видит, что пересечения нет: в ответе остались значения, при которых выражение не существует, и это прямая претензия к решению.

Лечит это привычка из двух строк. Первая строка решения записывает область определения, последняя перед ответом говорит «пересекаем с областью определения». Даже когда ограничение выполняется само, его всё равно пишут. Пусть дано неравенство (log₂x − 3) / (log₂x + 1) ≤ 0 с условием x > 0. После замены t = log₂x получается −1 < t ≤ 3, то есть 1/2 < x ≤ 8, и ответ автоматически лежит в области определения. Левая граница строгая, потому что знаменатель не может быть нулём, правая нестрогая, потому что нуль допустим в числителе. Запись x > 0 в начале при этом ничего не меняет в ответе, но показывает эксперту, что вы о ней подумали.

Если в знаменателе стоит логарифм, лишними становятся и значения, при которых он равен нулю, то есть аргумент равен единице. Когда основание логарифма содержит саму переменную, дело усложняется вдвое: основание должно быть положительным и не равным единице, и приходится разбирать отдельно случай, когда оно больше единицы, и случай, когда оно лежит между нулём и единицей. В каждом знак ведёт себя по-своему.

Как записывать решение и что стоит в скобках

Чистовик читают сверху вниз. В логарифмическом неравенстве выше эксперту нужны четыре блока: область определения, переход от логарифмов к аргументам с пометкой о смене знака, решение получившегося квадратного неравенства и пересечение с областью определения. Каждый блок занимает одну-две строки. Лишних слов не требуется, но фразу «знак меняется, так как основание меньше единицы» лучше написать: без неё переход выглядит как случайность, и эксперту приходится решать, случайность это или знание.

Круглая и квадратная скобки встречаются в одном ответе, как выше: квадратная при −1 и 4, круглая при 0 и 3. Объединение промежутков пишут знаком ∪ или словом «или». Союз «и» выражает пересечение, и запись с ним говорит эксперту другое.

Ответ можно проверить пробными точками, и делать это стоит на черновике, пока чистовик не переписан. Если подстановка показывает расхождение, искать его надо в области определения и в знаке, а целиком решение перерешивать незачем: именно там чаще всего и сидит ошибка.

Замена и метод рационализации: где остановиться

Метод рационализации заменяет разность логарифмов по одному основанию произведением: знак выражения log_a f − log_a g при допустимых значениях совпадает со знаком произведения (a − 1)(f − g). Он действительно сокращает решение, особенно когда основание меняется вместе с x. Пользоваться им я бы стал только после того, как стандартные шаги проделаны вручную хотя бы несколько раз. В школьных учебниках его обычно нет, поэтому в чистовике его придётся пояснить строкой «знак разности логарифмов совпадает со знаком произведения». Без пояснения эксперту остаётся верить на слово.

Метод интервалов выучить необходимо. Он нужен и внутри логарифмических задач, когда после замены остаётся дробь. Правило чередования знаков одно, но с кратными корнями оно ломается: через корень чётной кратности знак не меняется, и на этом случае ошибаются чаще, чем на любом другом.

Откуда тема и что делать, если не получается

Квадратные неравенства и метод интервалов проходят в восьмом и девятом классах, показательные и логарифмические неравенства — в одиннадцатом, в профильном курсе. Школьные контрольные по логарифмам обычно проще экзаменационного неравенства: основание постоянное, область определения очевидна, замены нет. Отсюда впечатление «логарифмы я знаю», а на экзамене задание оказывается другой сложности.

Тренировать неравенства удобно так же, как уравнения: сначала однотипные, чтобы закрепить шаг, потом смешанные. Первый набор я бы собрал из четырёх случаев по два неравенства на каждый: показательное с заменой, логарифмическое с основанием больше единицы, логарифмическое с основанием меньше единицы и дробное с логарифмами. Основание меньше единицы идёт отдельным случаем, потому что знак теряют даже те, кто тему понимает: рука привыкла к основаниям два и десять. После каждого неравенства один раз проверьте ответ пробными точками. Когда проверка станет привычкой, ошибка в области определения будет находиться ещё до того, как вы напишете ответ.

Если неравенство не идёт, сначала надо найти место поломки: замена, смена знака, область определения или сама алгебра. По ответу видно, какой кусок темы повторять, и всю тему заново проходить не нужно. Если не получается и обычное квадратное неравенство, причина в курсе седьмого–девятого классов, и начинать надо с него, а разбор типичных пробелов собран в статье про темы, которые западают чаще всего. Общую картину работы описывает статья о структуре профильного ЕГЭ, а простые показательные и логарифмические выражения проверяются ещё в первой части, и о ней написано в статье про первую часть.

Соседние задания второй части разобраны отдельно. Уравнение с отбором корней открывает вторую часть, а планиметрия с доказательством стоит ближе к концу; ошибки там другого рода, обоснование важнее вычислений.

Найти преподавателя для разбора неравенств:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для 10–11 класса
• пробный урок с разбором ваших работ

Вопросы и ответы

Можно ли решить такое неравенство по графику? Для проверки можно, для записи решения я бы опирался на алгебру. График помогает убедиться, что ответ похож на правду, но в чистовике обоснование должно быть выписано словами и формулами.

Что делать, если не помню свойства логарифмов? Начать с них. Без свойств не сработают ни замена, ни рационализация, а выучиваются они быстрее, чем кажется, если решать задачи и не ограничиваться конспектом.

Как проверить ответ в неравенстве? Подставить по одной пробной точке из каждого промежутка ответа и по одной из промежутков, которые вы исключили. Если внутри ответа неравенство верно, а снаружи нет, ответ с большой вероятностью правильный. Подставляют и концы, и точки рядом с ними, где под логарифмом остаётся малое положительное число: на границах чаще всего и прячутся ошибки в скобках.

Нужно ли записывать область определения отдельной строкой? Да, и обязательно первой, до всякого преобразования. Так её труднее потерять по дороге.