Планиметрия во второй части ЕГЭ по математике

Планиметрическая задача второй части обычно состоит из двух пунктов: сначала надо доказать некоторое утверждение о фигуре, потом посчитать длину или площадь. Так задание выглядит в демоверсиях последних лет, а формулировку 2027 года нужно сверить на сайте ФИПИ, вместе с критериями оценивания. Числа баллов я здесь не называю по той же причине, что и в соседних статьях группы: пока они не сверены с демоверсией, это догадка.

Материал задачи почти целиком из школьного курса седьмого–девятого классов: треугольники, четырёхугольники, окружность, подобие, площади. Трудность связана с тем, что геометрию этих классов в старших классах уже почти не повторяют: одиннадцатиклассники заняты стереометрией, производной и всем остальным, а умение рассуждать по чертежу сохраняется хуже, чем умение считать.

Доказать, потом посчитать

Пункты связаны. Утверждение из первого пункта обычно оказывается ключом ко второму: равенство отрезков, подобие или параллельность, которые нужны для расчёта, уже доказаны в а). Если доказательство не получилось, пункт б) всё равно стоит читать как условие, где нужный факт задан. Можно ли пользоваться им без доказательства и как это оценят, определяют критерии демоверсии 2027 года.

Фигуры в таких задачах разные: треугольник с вписанной или описанной окружностью, трапеция, параллелограмм, четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Состав каждый год меняется, и подготовка по одному любимому типу плохо переносится на соседний. Зато приёмов в них немного, и возвращаются одни и те же: подобие, равенство площадей, свойства углов в окружности.

Одну подсказку условие даёт бесплатно. Прочитайте сначала пункт б), потом а): становится видно, к какой величине идёт расчёт, и доказательство в первом пункте нередко оказывается заготовкой именно для неё.

Разбор задачи на трапеции

Условие придумано для этого разбора. В трапеции ABCD основания AD и BC, диагонали пересекаются в точке O. Нужно доказать, что площади треугольников ABO и CDO равны, а затем найти площадь трапеции, если AD равно 12, BC равно 4, а площадь треугольника BOC равна 5.

Доказательство. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD, а их высоты, опущенные на это основание, равны, потому что BC параллельна AD и расстояние между параллельными прямыми постоянно. Значит, площади этих треугольников равны. Треугольник ABD состоит из треугольников ABO и AOD, треугольник ACD — из COD и AOD. Если убрать общую часть AOD, остаются равные площади ABO и COD. В чистовике здесь три строки, и каждая названа: «общее основание», «равные высоты», «вычитаем общий треугольник».

Расчёт. Треугольники AOD и COB подобны по двум углам: углы при вершине O вертикальные, а углы OAD и OCB равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD. Коэффициент подобия равен отношению оснований, 12 к 4, то есть 3. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента, значит, площадь AOD равна 9·5 = 45. Теперь о треугольниках AOB и COB: у них общая высота из вершины B на прямую AC, а основания AO и OC относятся как 3 к 1 (тот же коэффициент подобия), поэтому площадь AOB в три раза больше и равна 15. По пункту а) площадь COD тоже равна 15. Сумма 5 + 45 + 15 + 15 даёт 80.

Ответ можно проверить формулой, которой в школе не требуют: площадь трапеции с таким разбиением равна квадрату суммы корней из площадей двух треугольников, прилежащих к основаниям, то есть (√5 + √45)², и это снова 80. Про такую формулу в чистовик писать не нужно, она годится только как контроль на черновике.

Типичная ошибка в расчёте: отношение площадей берут равным коэффициенту подобия, 3, а не его квадрату, и получают для площади AOD число 15 вместо 45. Ответ тогда выходит 50. Выглядит он вполне правдоподобно, и обнаружить промах можно, только вспомнив, что при увеличении линейных размеров втрое площадь растёт вдевятеро.

Чертёж, который не врёт

Чертёж нарисуйте большим, на целую половину листа, и не частным. Если трапеция не названа равнобедренной, не рисуйте её равнобедренной: на симметричном чертеже вы заметите равенства, которых в условии нет, и «доказательство» окажется описанием картинки. Равные по условию отрезки и углы помечайте на чертеже сразу, тем же значком, что и в записи.

С окружностью чертёж помогает ещё сильнее. Если в условии есть касательная, сразу проведите радиус в точку касания и отметьте прямой угол: нужная идея часто появляется именно из этой пометки. Если пересекаются хорды, выпишите вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, они равны. Такие отметки занимают минуту, а потом решение строится на них, как на готовой опоре. Ученик, который решает без пометок, держит все эти факты в голове и теряет их при первом пересчёте.

Отдельно стоит остановиться на словах из условия, от которых зависит расположение точек. Если точка лежит «на стороне AB», она между A и B. Если «на прямой AB», возможны два расположения, и в расчётной части придётся разобрать оба или обосновать, почему подходит одно. Так же устроены две касающиеся окружности: если в условии не сказано, внешнее касание или внутреннее, расчёт нужно провести для обоих случаев, и один из них нередко оказывается невозможным по другим данным. Пропущенный случай остаётся дырой даже в верно решённой задаче. Проверку чужого решения разумно начинать с вопроса, все ли случаи разобраны: чаще всего дыра именно там.

Что считается доказательством

Каждое утверждение в доказательстве либо дано в условии, либо следует из уже установленного по названному факту. «По рисунку видно», «очевидно» и «понятно, что» в чистовике не работают: эксперт ищет не то, что вам ясно, а то, что записано. Вторая типичная беда — круг: доказательство использует то, что нужно было доказать, замаскировав его другими словами.

Приведу вымышленный, но узнаваемый фрагмент: «диагонали трапеции пересекаются в точке O и делятся ею пополам, значит, AO равно OC». Свойство верно для параллелограмма, а в произвольной трапеции неверно. Автор фрагмента нарисовал симметричную трапецию, поверил картинке и построил на этом всё дальнейшее решение, то есть дальше оно держалось на неверном равенстве.

Третья беда — применённая теорема без проверки условий. Подобие треугольников называют, но не говорят, по каким углам оно получено. Свойство вписанного четырёхугольника используют, а того, что четырёхугольник вписан, не обосновывают.

Если для решения нужно знание, которого нет в школьном курсе, например теорема Чевы или Менелая, безопаснее вывести его короткой вставкой, чем сослаться на название. Это моё мнение, и допустимость ссылок на такие теоремы определяют критерии демоверсии 2027 года.

Какие факты стоит знать наизусть

Список небольшой, но он должен быть в голове, а не в справочнике. Признаки равенства и подобия треугольников. Свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Теорема о касательной и секущей и свойство вписанного угла: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а опирающийся на диаметр прямой. Признак и свойство вписанного четырёхугольника, где сумма противоположных углов равна 180 градусам, и описанного, где равны суммы противоположных сторон. Теоремы синусов и косинусов. Свойства медиан, которые пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении два к одному, и средней линии. Формулы площади, не только через основание и высоту, но и через две стороны и синус угла между ними.

Эти формулировки сверяйте с учебником геометрии своей школы. Содержание у учебников общее, различаются порядок изложения и названия.

Учить такой список по учебнику неудобно, потому что в нём факты разбросаны по темам и главам. Работает карточка на каждый факт: слева маленький рисунок, справа формулировка и условие, при котором факт верен. Условие важнее всего, потому что именно его забывают, и ошибка в рассуждении возникает тогда, когда факт применён там, где он не действует. Стопку карточек удобно перебирать несколько раз в неделю по пять-шесть штук, а не проходить целиком за вечер.

Если геометрия не идёт

Сначала проверьте, на каком уровне вы застряли. Если не получаются геометрические задачи с доказательством из ОГЭ (о них написано в статье про геометрию с доказательством в ОГЭ), то дело в курсе восьмого–девятого классов, и надо возвращаться к нему. Это работа преподавателя: проверить, какой из признаков и свойств вы применяете неверно, и построить цепочку задач на каждый.

Если задачи ОГЭ решаются, а в ЕГЭ не получается, причина обычно в числе шагов: в экзамене нужно связать три-четыре факта, а не один. Тогда помогает привычка разбирать условие письменно, отдельными строками, что дано, что надо доказать и какие факты подходят, и только потом решать.

Тренировать планиметрию лучше задача за задачей, но записывая каждую полностью, как на экзамене, пусть это и дольше. Решение «в голове» даёт уверенность, которую чистовик не подтверждает: на бумаге выясняется, что один из шагов вы пропустили, потому что он казался очевидным. Сверяя запись с разбором, полезно отметить места, где у эксперта возник бы вопрос «откуда это», и дописать там ссылку на факт.

Задание второй части с планиметрией стоит среди последних, и браться за него имеет смысл, когда уже решаются уравнение и неравенство: о них в разборе уравнений и в разборе неравенств. Общая раскладка по заданиям описана в статье о структуре профильного ЕГЭ, а какие темы курса западают у большинства, в статье про западающие темы. Первую часть работы, где геометрия тоже есть, но без доказательств, разбирает статья о первой части.

Найти преподавателя по геометрии:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для 10–11 класса
• пробный урок с разбором ваших решений

Вопросы и ответы

Можно ли решить планиметрическую задачу координатами? Можно, если решение полностью записано и каждый шаг объяснён. Для доказательства метод координат тяжёл: придётся расписывать вычисления, а ошибка в одном знаке портит всё. Решайте так, если решение через свойства фигур не нашлось, и не откладывайте этот запасной путь до последней минуты: чтобы он сработал, нужна практика.

Нужно ли зубрить формулировки теорем? Нужно знать, что именно утверждает теорема и при каких условиях. Дословность не требуется, но пропуск условия, например слова «вписанный», считается ошибкой в обосновании.

Сколько времени отдавать задаче в экзамене? Общей цифры у меня нет: она зависит от вашего пути по второй части и от того, с какого задания вы начинаете. Узнать её можно только на пробном варианте, решённом на таймере целиком; если планиметрия съедает время, оставленное на задания дороже, её стоит отложить.

Нужен ли репетитор по геометрии? Если пробелов в курсе восьмого–девятого классов нет и вы просто не решаете геометрию, то хватит нескольких занятий на разбор доказательств. Если пробелы есть, репетитор нужен, потому что геометрия плохо учится по учебнику без проверки рассуждения.