Уравнения во второй части ЕГЭ по математике

Вторую часть профильной математики открывает уравнение, и условие в нём, судя по демоверсиям последних лет, состоит из двух просьб: решить уравнение и найти корни, которые лежат на заданном отрезке. Проверяет это эксперт, а не машина, поэтому ценится и ответ, и то, как он получен и записан. Формулировку и критерии стоит читать в демоверсии 2027 года на сайте ФИПИ, без пересказов, этот текст включая. Числа баллов я нарочно не называю: пока они не сверены с демоверсией, любая цифра будет догадкой.

Тип уравнения меняется от года к году. Чаще всего это тригонометрия с углом x и углом 2x в одном выражении, но встречались и показательные с логарифмами, и дробные. От типа зависит, что придётся делать после решения. Тригонометрические корни приходят сериями, то есть формулой с целым числом n, и отрезок оставляет из каждой серии несколько значений. В дробном уравнении часть корней оказывается посторонней, и их отсекают по области допустимых значений. Бывает и то и другое сразу, тогда записи в чистовике заметно больше. Общая картина работы и место этого задания в ней описаны в статье про структуру профильного ЕГЭ.

Разбор одного уравнения

Для примера подойдёт уравнение sin 2x = √3·cos x на отрезке от 5π/2 до 4π. Условие придумано для этого разбора.

Самое частое начало такое: заменить sin 2x на 2·sin x·cos x, поделить обе части на cos x и получить sin x = √3/2. Дальше всё идёт гладко, серии записаны, корни отобраны, а целая серия потеряна. Деление на cos x молча отбрасывает все x, при которых cos x равен нулю, а в этом уравнении они как раз корни. Правильный ход скучнее: перенести всё в левую часть и вынести cos x за скобку. Получается cos x·(2·sin x − √3) = 0, и произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Из cos x = 0 следует x = π/2 + πn. Из sin x = √3/2 следуют две серии, x = π/3 + 2πk и x = 2π/3 + 2πk; n и k целые. Это ответ пункта а), три серии. Условие «n и k — целые числа» я бы дописал в чистовике: без него серия формально не определена.

Теперь отбор. Для серии π/2 + πn записывается двойное неравенство 5π/2 ≤ π/2 + πn ≤ 4π. Деление на π даёт 5/2 ≤ 1/2 + n ≤ 4, откуда 2 ≤ n ≤ 7/2 и n равно 2 или 3. Корни: 5π/2 и 7π/2. Для серии π/3 + 2πk получается 13/12 ≤ k ≤ 11/6, целых чисел там нет, и серия на отрезок не попадает. Для серии 2π/3 + 2πk получается 11/12 ≤ k ≤ 5/3, подходит только k = 1, это корень 8π/3. Ответ пункта б): 5π/2, 8π/3, 7π/2.

Обратите внимание на 5π/2: этот корень лежит ровно на левом конце отрезка. Концы в отрезок входят, и тот, кто решил неравенство строго, потеряет корень вместе с баллом, хотя уравнение решено верно.

Теперь о дробном уравнении, где сложность в другом месте. В уравнении (2·cos²x − cos x − 1) / (1 − cos x) = 0 числитель раскладывается на (2·cos x + 1)·(cos x − 1). Обращается в нуль он при cos x = −1/2 и при cos x = 1, но во втором случае нулю равен и знаменатель, и значения x = 2πn в корни не годятся. Остаются две серии, x = 2π/3 + 2πn и x = −2π/3 + 2πn. Решение, где в ответе остались все три группы значений, обычно теряет балл за посторонний корень, даже если арифметика безупречна.

Где уходят баллы при верном методе

Две потери уже встретились: сокращение на общий множитель и строгое неравенство на границе. Типичных потерь больше.

Серию записывают без пометки, что n целое. Две серии сливают в одну формулу и ошибаются в знаке. Дроби с π в неравенстве приводят к общему знаменателю неверно, и граница смещается на целую единицу, а вместе с ней уезжает и число корней. В чистовик попадает одна строка «Ответ: 5π/2, 8π/3, 7π/2» без отбора, и эксперт не видит, откуда взят этот список. Наконец, область допустимых значений: если в уравнении есть тангенс, дробь, корень или логарифм, найденные значения проверяют подстановкой в условие или сверкой с ограничением.

Отдельная история — черновик и чистовик. На черновике ученик нередко разбирает все случаи верно, а в чистовик переносит только тот, что привёл к ответу, и эксперт оценивает то, что написано на чистовике. Привычка переписывать решение целиком, проверяя каждую строку, сначала раздражает, потому что съедает время. Зато она убирает сразу несколько видов потерь: забытую серию, пропущенную пометку про целые n и ограничение из знаменателя, которое осталось на полях черновика. Как распределить на это время внутри всей работы, подскажет только пробный вариант на таймере.

У этих потерь есть общее свойство: ошибка сидит не в идее решения. Во время тренировки удобно завести листок, где рядом с каждой работой записано, на каком месте вы споткнулись. Через несколько вариантов листок сам показывает, что вы теряете чаще всего, и оказывается, что новые типы уравнений тут вторичны, а чаще всего хватает двух-трёх привычек, которые надо изменить.

Отбор корней: неравенство, окружность или график

Корни отбирают неравенством для целого параметра серии, как выше, числовой окружностью, графиком или прямым перебором значений n. Основным я бы сделал неравенство. Его трудно записать неправильно по существу, и эксперту сразу видно, что корни отобраны, а не угаданы. Числовая окружность хороша для проверки: на ней видно, например, что отрезок длиной в полтора оборота накрывает одну из серий дважды. Для записи она рискованнее. Если в чистовике нарисована окружность с точками и нет пояснения, какая точка какому корню соответствует, спорить с оценкой трудно.

График нужен, когда уравнение смешивает тригонометрию с логарифмом или модулем и границы отрезка неудобные. На практике такое бывает редко.

Какие способы принимаются и что именно считается обоснованием, видно по критериям демоверсии 2027 года. Это моё предпочтение, и если критерии что-то уточняют, они главнее.

С каких уравнений начинать тренировку

Порядок я бы выстроил по числу действий до серий корней. Сначала уравнения, которые сводятся к квадратному заменой sin x = t или cos x = t: тут вы заодно проверяете, что простейшие уравнения решаются без запинки. Следом идут уравнения с разложением на множители, как в разборе выше, и с формулой двойного угла. Потом дробные, где нужно отслеживать знаменатель, и в самом конце смешанные с показательной или логарифмической частью.

Начинать с последних типов соблазнительно, потому что они выглядят как «настоящая» вторая часть. Но если вы не владеете первым шагом, на смешанном уравнении вы будете терять два места сразу, и по итогам будет непонятно, какое из них виновато. Каждый тип решается до конца вместе с отбором: решённое наполовину уравнение приносит гораздо меньше пользы, чем кажется, потому что отбор корней как раз и требует навыка, которого в начале нет.

Раз в несколько занятий стоит возвращаться к уже пройденному типу и решать его заново, без подсказки. Сроки такого повторения у каждого свои и зависят от того, как быстро возвращается результат. Если через неделю вы решаете то же уравнение, как в первый раз, значит, навык закрепился, а если ошибка вернулась, тип надо разбирать снова.

Откуда это взято в курсе и почему к одиннадцатому классу забывается

Простейшие уравнения sin x = a и cos x = a, формулы двойного угла и формулы приведения проходят в десятом классе, на профильном уровне. Разложение на множители и вынесение общего множителя за скобку гораздо старше, это седьмой–девятый классы, и тригонометрия приём не отменяет. К одиннадцатому классу он давно не нужен на школьных контрольных, поэтому его приходится вспоминать на ходу, прямо во время решения.

Одиннадцатый класс забирает время на производную и стереометрию, и тригонометрические формулы без повторения вылетают из памяти. Какие темы школьной математики западают чаще всего, описано в статье про темы, которые западают, тригонометрия в её списке есть. Уравнения первой части короче: ответом там служит число, и разбор таких заданий лежит в статье про первую часть.

Если уравнение не идёт

Сначала надо понять, где именно решение останавливается. Если не получаются простейшие уравнения sin x = a, cos x = a, tg x = a и ctg x = a, нет ни одного значения синуса и косинуса, которое вы помните без шпаргалки, то дело в теме, а не в задании. Возвращаться придётся к десятому классу: этот объём занимает несколько занятий, и удобнее делать его с преподавателем, который проверит запись серий.

Если простейшие уравнения решаются, а на вариантах всё равно теряются баллы, причина в записи или в отборе. Это самый дешёвый случай: новых тем он не требует. Нужен листок с ошибками и десяток уравнений разного типа, доведённых до конца вместе с отбором. Десяток здесь не норма, а порядок величины: если ошибка не уходит и после этого, объём стоит увеличить.

Остальные номера работы разобраны в соседних статьях, например в разборе задания 12 ЕГЭ по профильной математике. Если уравнения второй части идут тяжело, полезно посмотреть, как выглядит запись решения в других заданиях, и понять, сколько в ней строк, требующих отдельного обоснования.

Найти преподавателя для разбора уравнений:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для 10–11 класса
• пробный урок с разбором ваших ошибок

Соседнее задание второй части разобрано в статье про неравенства: ошибки записи там те же, только вместо серий корней стоят промежутки.

Вопросы и ответы

Если пункт а) не получился, стоит ли браться за пункт б)? Стоит. Если у вас есть хотя бы часть серий, отбор по ним показывает отдельное умение, и пропускать его не нужно. Как это оценят, определяют критерии демоверсии, поэтому пишите всё, что сделали, и не зачёркивайте черновик решения, который не успели довести до конца: иногда в нём есть то, что эксперт готов засчитать.

Сколько уравнений нужно прорешать? Число зависит от начального уровня, и общей цифры у меня нет. Ориентир другой: пока одна и та же ошибка повторяется в трёх подряд решённых уравнениях разных типов, количество ничего не меняет, надо разбираться с причиной.

Что делать, если корень оказался на конце отрезка? Включать его в ответ: отрезок, в отличие от интервала, концы содержит. Именно поэтому неравенство для целого параметра серии записывают нестрогим, и именно здесь теряют корень чаще всего.

Нужен ли репетитор именно на это задание? Если пробел в самой тригонометрии, то да, и занятия лучше начинать с неё. Если вы теряете баллы на записи, обычно хватает взгляда со стороны на несколько решённых работ: преподаватель увидит, что именно вы упускаете, быстрее, чем вы сами. Отдельный курс на одно уравнение для этого не нужен.