Задание 12 ЕГЭ по профильной математике

Наименьшее значение функции на отрезке ищется сравнением значений в нескольких точках, и эта простая идея ломается ровно в одном месте: нужная точка оказывается вне отрезка, а ученик всё равно её подставляет. Производная приравнена к нулю, корни найдены, значения посчитаны, и ответ получился красивый, только он относится к точке, которой на заданном промежутке нет. Первая проверка в этом задании поэтому всегда одна и та же: лежит ли найденная точка на отрезке.

Общий порядок работы с первой частью описан в статье про то, как её закрыть, а ступенькой раньше стоит задание о графиках функций. Следующая тема в экзамене, уже из второй части, разобрана отдельно: уравнения во второй части.

Алгоритм на отрезке

Для непрерывной функции на отрезке наибольшее и наименьшее значения достигаются либо на концах, либо в точках, где производная равна нулю. Больше мест нет, и именно это делает задание процедурой, а не поиском: список кандидатов конечен и обычно состоит из трёх-четырёх точек. Порядок действий короткий: найти производную, приравнять к нулю, оставить корни, лежащие внутри отрезка, и посчитать значение функции в этих корнях и на обоих концах. Среди полученных чисел выбрать нужное.

Рассмотрим функцию «x в кубе минус три x» на отрезке от нуля до двух. Производная равна трём x в квадрате минус трём, нули производной плюс и минус единица. Минус единица на отрезок не попадает, остаётся единица. Значения: в нуле ноль, в единице минус два, в двух два. Наименьшее минус два, наибольшее два. Если пропустить проверку принадлежности, в список попадёт и значение в минус единице, равное двум. Здесь оно случайно совпадает с наибольшим, и ошибка останется незамеченной, но на другой функции то же самое действие даст неверный ответ.

Значения на концах отрезка считаются всегда, даже когда кажется, что экстремум внутри очевиден. Это самое дешёвое страхование в задании: две подстановки защищают от худшей ошибки, и я не видел случая, когда они оказались лишними. Возражение «времени мало» не работает, потому что подстановка в простую функцию занимает секунды.

Есть случай, где производная избыточна: квадратичная функция. У параболы единственная критическая точка совпадает с вершиной, и абсциссу вершины даёт формула «минус b, делённое на два a», без всякого дифференцирования. Ученики, натренированные на производной, нередко считают её и там, где хватает вершины, и теряют минуту. Выбирать способ надо по виду функции: для многочлена второй степени вершина, для остальных производная. Здесь я готов спорить с учителями, которые требуют единого метода на все случаи: единый метод удобен для обучения, но на экзамене важнее скорость.

Точка или значение

В бланк записывается либо точка, где достигается экстремум, либо значение в ней, и условие различает их единственным словом. «Найдите точку максимума» требует абсциссу. «Найдите наибольшее значение» требует ординату.

Теперь функция «x в кубе минус двенадцать x». Производная три x в квадрате минус двенадцать обращается в ноль при x, равном двум и минус двум. Знаки производной слева направо: плюс, минус, плюс. Значит, в минус двух производная меняется с плюса на минус, это точка максимума, а в двух с минуса на плюс, это точка минимума. На вопрос «найдите точку максимума» ответ минус два. На вопрос «найдите значение функции в точке максимума» ответ 16, потому что минус восемь плюс двадцать четыре равно шестнадцати. Отличить два вопроса помогает одно действие: подчеркнуть в условии слово «точка» или «значение» до вычислений.

Запись ответа проста: число, возможно отрицательное, возможно десятичная дробь, и в обоих вопросах знак «минус» входит в ответ, поэтому минус два записывается с минусом, а не по модулю. Ловушек здесь четыре, и все они встречаются:

• подставили в бланк корень производной, хотя просили значение функции
• взяли минимум вместо максимума, перепутав направление смены знака
• нашли точку экстремума функции на всей прямой, а условие ограничивало её отрезком
• посчитали экстремумом точку, где производная равна нулю, но знак не меняется, как у функции «x в кубе» в нуле

Последняя ловушка самая коварная, потому что приводит к ответу, который выглядит осмысленным. Здесь выручает таблица знаков производной, а проверка второй производной подводит чаще: она либо не определена, либо тоже равна нулю.

Логарифм, экспонента и тригонометрия

Если в функции появляется логарифм, главное новое слово — область определения. Функция «три x минус логарифм от трёх x плюс пять» на отрезке от одной шестой до пяти шестых. Логарифм определён при положительном аргументе, и на отрезке это выполнено. Производная равна трём минус одному, делённому на x. Она обращается в ноль при x, равном одной трети, что лежит на отрезке. Слева от одной трети производная отрицательна, справа положительна, значит, это точка минимума. Значение в ней: единица минус логарифм единицы плюс пять, то есть шесть. На концах значения больше: в одной шестой получается пять с половиной плюс логарифм двух, примерно шесть целых девятнадцать сотых. Ответ шесть.

Тригонометрические функции чаще всего подбираются так, чтобы производная раскладывалась красиво. Для функции «четыре тангенса x минус четыре x плюс пи минус пять» на отрезке от минус пи на четыре до пи на четыре производная равна четырём тангенсам в квадрате x, то есть неотрицательна. Функция возрастает на всём отрезке, и наибольшее значение достигается на правом конце: четыре минус пи плюс пи минус пять, то есть минус один. Критические точки здесь можно даже не искать, достаточно увидеть знак производной, и это пример того, как проверка монотонности экономит вычисления.

Дробные функции и корни добавляют свои оговорки. Если в знаменателе стоит выражение, обращающееся в ноль на отрезке, функция там разрывна, и рассуждение о концах и критических точках перестаёт работать; в заданиях такого вида составители подбирают отрезок так, чтобы разрыва на нём не было, но прочитать это нужно самому. Для корня аргумент должен быть неотрицательным на всём отрезке, и если на конце он равен нулю, производная в этой точке не существует: значение на конце всё равно считается, а вот решать уравнение производной там нельзя.

С экспонентой правило то же самое, и добавляется одно знание: показательная функция положительна всегда. Поэтому знак производной вида «произведение экспоненты на многочлен» определяется многочленом, и экспоненту можно мысленно закрыть. Это экономит время и снимает половину ошибок.

Где эта тема в курсе и в экзамене

Это умение входит в школьную программу десятого и одиннадцатого классов и закрывает раздел о применении производной. Нумерация заданий профильной математики менялась, и в демоверсиях последних лет такое задание стоит под номером 12, но в своём году номер нужно сверить по демоверсии: поиск наибольшего и наименьшего значения от нумерации не зависит.

Пригодится оно за пределами этого номера. В задачах второй части, где по условию нужно найти наилучшее значение, а также в задачах с параметром поиск экстремума идёт теми же шагами, только условие длиннее и ответ нужно обосновать. Поэтому освоить процедуру на простых функциях полезно даже тому, кто рассчитывает набрать баллы в других местах. На школьной контрольной по теме она тоже спрашивается почти в том же виде, так что вечера, потраченные на неё, не пропадают.

Когда браться за тему? Разумно после того, как закреплены вычисления производных и чтение их графиков, то есть после материала восьмого задания. Без этой базы поиск экстремума превращается в заучивание порядка действий, которое рассыпается при первом нестандартном условии.

Почему тема забывается

Производную в школе проходят в конце десятого класса и в одиннадцатом, а исследование функции на экстремум занимает в этом курсе несколько уроков, после которых идут новые темы. Контрольная по теме пишется сразу, а к экзамену проходит год. За этот год производная попадается школьнику редко, и первым выветривается порядок действий. Формулы остаются в учебнике, а порядок хранился только в голове. Формулу производной степени помнят, а то, что корни производной надо сверять с отрезком, забывают. В статье о темах, которые западают чаще всего такой тип потери, когда знание есть, а порядок действий пропал, описан отдельно.

Из этого следует практический вывод. Восстанавливать надо процедуру целиком, и лучше всего это делается переписыванием её в виде короткой памятки из пяти строк, которую вы составляете сами. Чужая памятка запоминается хуже: свою пишут словами, которыми думают.

Как тренироваться

Темп здесь важнее разнообразия. Для первых занятий хватит пяти-шести функций каждого вида: многочлены, дробные функции, функции с логарифмом, функции с экспонентой. Решать их стоит подряд, с одним и тем же порядком записи, и с проверкой каждой найденной точки на принадлежность отрезку. Заведите отдельный лист, на котором для каждой решённой функции записаны производная и таблица значений. Через несколько дней там накапливается материал для разбора, и видно, какое действие повторно подводит. Через неделю такой тренировки задание перестаёт быть задачей и становится процедурой, и вот тогда можно начинать смешивать типы.

Если процедура не складывается, нужно выяснить, где именно рвётся цепочка. Причин обычно две. Первая — сама производная считается с ошибками, и тогда помогает таблица производных и упражнения на неё. Вторая — шаги верны, а теряются знаки и принадлежность отрезку: лечится рисованием оси с точками и знаками над ней и привычкой записывать отрезок отдельной строкой в начале решения. Обе хорошо видны репетитору по тетради, поэтому первое занятие лучше потратить на разбор готовых решений, а не на новые задачи.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Какие темы школьной математики забываются к экзамену чаще других, написано в статье о темах, которые западают. Положение задания среди остальных видно по структуре экзамена.

Вопросы и ответы

Зачем считать значения на концах отрезка? Потому что наибольшее или наименьшее значение может достигаться именно там, если внутри отрезка функция монотонна или единственный экстремум оказался противоположного типа: при поиске наименьшего значения вам попался максимум.

Что делать, если производная нигде не равна нулю? Функция монотонна на всём отрезке, и ответ даёт значение на одном из концов. Какой именно конец, определяет знак производной: при положительной производной наименьшее значение на левом конце, наибольшее на правом.

Как искать значения, если на отрезке несколько критических точек? Считать функцию во всех, а также на обоих концах отрезка, и выбрать нужное число по условию. Таблица значений из четырёх-пяти пунктов занимает на черновике три строки, и сравнивать числа проще, чем рассуждать о знаках.

Нужно ли доказывать, что найденная точка является максимумом или минимумом? В первой части ответом служит только число, доказательств не требуется. Но знак производной слева и справа вы всё равно определяете для себя, иначе не поймёте, максимум перед вами или минимум.