ВПР по математике в 7 классе

Седьмой класс — тот год, когда математика перестаёт быть одним предметом и становится двумя: алгебра с буквами вместо чисел и геометрия с чертежом и рассуждением. Проверочная работа застаёт ребёнка посреди этого перехода, и встретятся в ней алгебра с геометрией в том виде, в каком их успели пройти, вперемешку с арифметикой прошлых лет. Сам перечень предметов и классов на учебный год определяет Рособрнадзор, школа объявляет его заранее, а работа идёт по пройденному материалу. Состав работы, число заданий и время даёт демонстрационный вариант года, и в этой статье цифр из него нет. Здесь о другом: чем седьмой класс отличается от шестого и почему именно в этом году результат у многих детей неожиданно проседает.

Если ваш ребёнок в шестом классе писал проверочные без проблем, а в седьмом принёс результат ниже, обвинять его или программу не стоит. Это обычный перелом, и у него есть объяснение. О предыдущем годе рассказано в статье про шестой класс, а о том, что такое проверочная работа в целом, — на странице про ВПР.

Что меняется по сравнению с шестым классом

Общая перемена от шестого класса к седьмому такая: числа и фигуры, которые были конкретными, становятся буквами и рассуждениями. Выражение с буквами нельзя проверить, посчитав на калькуляторе, а геометрическое утверждение нельзя принять на глаз. Так происходит переход к абстракции, и у разных детей он занимает разное время.

Когда в курсе алгебры появляются степени с буквенным основанием, возникает путаница. При умножении степеней с одним основанием показатели складываются, и a²·a³ равно a⁵, а при возведении степени в степень показатели перемножаются, и (a²)³ равно a⁶. Ребёнок, который выучил два правила без объяснения, к концу четверти их смешивает. Помогает расписать степень произведением: a²·a³ = (a·a)·(a·a·a), и пять множителей можно просто пересчитать. Когда ребёнок один раз вывел правило сам, зубрить его больше не нужно.

Формулы сокращённого умножения нужны не только слева направо. Чтобы быстро вычислить 51·49, достаточно заметить, что это (50 + 1)·(50 − 1), то есть 2500 − 1 = 2499. Ребёнок, который видит формулу разности квадратов только как «раскрыть скобки», такого хода не находит, и работа даёт ему задачи, в которых формулу нужно узнать в записи, а не применить по команде. Тренируется это просто: покажите произведение двух близких чисел и спросите, нельзя ли посчитать его в уме.

В геометрии новизна другая: впервые мало знать ответ, его надо обосновать письменно. Как это тренировать, написано ниже.

Где ломается привычный счёт

Выражение (x + 3)² ребёнок из шестого класса в уме превращает в x² + 9, потому что возводит в квадрат каждое слагаемое. Квадрат суммы между тем равен x² + 6x + 9, и пропущенное слагаемое 6x теряется в половине работ. Лучший способ убедить ребёнка не в правиле, а в необходимости им пользоваться, — подставить число: при x = 1 левая часть равна 16, а правая x² + 9 даёт 10. Две части не могут быть равны, значит, формула неверна. Такая проверка занимает полминуты и годится для любой формулы.

Другая типичная потеря связана со скобками, перед которыми стоит минус. Выражение 5 − (2x − 3) раскрывают как 5 − 2x − 3 и получают 2 − 2x, хотя знак в скобке меняется у обоих слагаемых, и верный ответ 8 − 2x. Ошибка встречается и у отличников, потому что в шестом классе с минусом перед скобкой работали на числах, где результат не менялся.

Третья ловушка — график линейной функции. Для y = 2x − 3 точка пересечения с осью y находится сразу, это (0; −3), а точка пересечения с осью x требует решить уравнение 2x − 3 = 0, и получается (1,5; 0). Дети путают, какую из осей они ищут, или читают координаты на графике в обратном порядке. Системы уравнений дают ещё одну группу ошибок: для x + y = 7 и x − y = 1 найденное x = 4 подставляют в одно уравнение, а во второе не проверяют, и неверно найденное y проходит незамеченным.

Особняком стоят проценты, потому что в седьмом классе они возвращаются в виде обратных задач. Товар стоил столько-то, после скидки в 20 процентов он стоит 800 рублей, сколько он стоил раньше? Ребёнок находит 20 процентов от 800, прибавляет их и получает 960, а верный ответ 1000, потому что 800 составляют 80 процентов цены. Ошибка совершается мгновенно и выглядит очень убедительно. Лучше всего её лечит привычка спрашивать себя, от какого числа берётся процент.

Арифметика прошлых лет тоже даёт о себе знать, потому что буквенные выражения возвращают детей к дробям. Сумму 1/2 + 1/3 многие записывают как 2/5, складывая числители и знаменатели, а верный ответ 5/6. В шестом классе такая ошибка заметна сразу, потому что дроби считают отдельным примером. В седьмом она прячется в середине длинного преобразования, и найти её в тетради труднее. Проверка проста: сумма двух положительных дробей всегда больше каждого слагаемого, и 2/5 уже по этой причине не годится: оно меньше, чем 1/2.

Из этих ошибок почти нет ни одной, которая означала бы непонимание темы. Они возникают из спешки и привычки считать в уме, а лечатся ровным письмом по строкам и проверкой подстановкой.

Геометрия и объяснение своими словами

Доказательство в седьмом классе у многих выглядит так: ребёнок видит, что отрезки равны, и пишет «равны». Из чертежа это видно, а из условия не следует. К концу года привычку «видно по рисунку» пора оставить: геометрия строится на другом, и каждое утверждение в ней либо дано, либо следует из названного факта.

Приучить к этому можно дома без репетитора, если просить ребёнка объяснять вслух. Он называет утверждение, и вы спрашиваете: «почему?». Ответ «потому что так видно» принимать не нужно, пусть отвечает по условию. Помогает простой приём: после каждого утверждения в тетради ребёнок дописывает «так как» и продолжает фразу. Сначала это раздражает, потом входит в привычку.

Вот как выглядит разумная запись простого факта. В треугольнике ABC угол A равен 50 градусам, угол B равен 60 градусам, нужно найти угол между стороной BC и продолжением стороны AC за точку C. Решение: угол C равен 180 − 50 − 60 = 70 градусам, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам. Искомый угол смежный с ним, значит, он равен 180 − 70 = 110 градусам, так как сумма смежных углов равна 180 градусам. Два «так как» превращают вычисление в решение, и в геометрии ждут именно такой записи.

Это кажется мелочью, но навык растёт вместе с ребёнком. В одиннадцатом классе на экзамене по профильной математике точно такое же рассуждение будет оцениваться по критериям, и о том, как устроена эта работа в целом, написано в статье про структуру профильного ЕГЭ.

Что делать дома

Начать стоит с того, чтобы взять тетрадь по алгебре и тетрадь по геометрии и посмотреть, где учитель отметил ошибки. Тетради говорят о ребёнке больше любой диагностики, потому что в них ошибки той же природы, что и на работе. Если отметок много в одном месте, например в знаках при раскрытии скобок, вы уже знаете, что повторять.

Заранее задайте учителю два вопроса: какие темы прошли к моменту работы и как школа использует результат. Первый нужен, чтобы выбрать, что повторять, второй, чтобы не тревожиться зря: решение принимает школа, и единого ответа нет.

Затем можно завести небольшую тетрадь формул и приёмов, в которую ребёнок сам вписывает правила своими словами, с одним примером на каждое. Выписывать «как в учебнике» бесполезно, а переформулированное правило запоминается лучше, потому что ребёнку пришлось его понять.

Что касается режима, короткие и частые занятия по математике обычно лучше долгих и редких: перед воскресным занятием ребёнок успевает забыть то, что делал в среду. Общего расписания для всех детей нет, и разговор с учителем этого не заменит, но такое изменение стоит дешевле остальных.

Демонстрационный вариант этого года стоит разобрать вместе с ребёнком и разложить задания на две стопки: те, что он решил бы сразу, и те, где не знает, с чего начать. Вторая стопка и есть программа на ближайший месяц, остальное не требует времени.

Решебники и готовые домашние задания, по-моему, вредят. Они дают правильный ответ и отнимают у ребёнка тот момент, когда он сам понял ошибку. Если решебник всё-таки открыт, пусть это будет после собственной попытки, а не вместо неё.

Когда нужен репетитор

Есть два признака. Первый: ребёнок не понимает объяснения учителя и просит повторить, а повторение не помогает, потому что в основе лежит пробел из шестого, а иногда пятого класса: дроби, проценты, отрицательные числа. Его надо закрывать, и общую схему такой работы описывает статья про пробелы за прошлые классы. Второй признак: ребёнок всё понимает, но стабильно теряет баллы на аккуратности, и взрослому дома не хватает терпения ждать, пока он напишет решение в строчку.

Когда математика даётся трудно, физика в этом же классе, скорее всего, тоже, и причины перемешиваются. Она опирается на ту же алгебру, и о ней написана статья про ВПР по физике в седьмом. Если выбирать, с чего начать, то с математики: проблемы с формулами и единицами в физике почти всегда оказываются проблемами математики.

Подобрать преподавателя можно здесь:

• репетиторы по математике
• репетиторы для 5–8 класса
• репетиторы по школьной программе
• репетиторы на витрине «Большая перемена»

Вопросы и ответы

Ребёнок «потерялся» в алгебре с сентября. Это надолго? Если ничего не менять, то да. Первые месяцы седьмого класса закладывают основу для остальных, и новая тема, которая ложится на неосвоенную, быстро становится ещё одним пробелом. Если позаниматься с ребёнком, пока четверть не кончилась, потерю обычно удаётся закрыть: тем в начале седьмого класса немного.

Нужно ли учить формулы сокращённого умножения наизусть? Нужно, и желательно с геометрическим смыслом: квадрат суммы можно нарисовать площадью квадрата, разбитого на четыре части. Рисунок запоминается лучше формулы и помогает не терять среднее слагаемое.

Стоит ли решать варианты прошлых лет? Стоит, но для знакомства с заданиями. Состав работы меняется, поэтому на прошлогоднем варианте нельзя рассчитывать время и число заданий. Демонстрационный вариант этого года лучше.

Как понять, что школьных занятий достаточно? Смотрите на тетради и на то, что ребёнок объясняет вслух. Если он пересказывает правило своими словами и ошибается редко и по невнимательности, дополнительных занятий не нужно. Если ошибки одни и те же от работы к работе, нужны занятия.

Что делать, если ребёнок боится геометрии? Начать с чертежа. Просите его нарисовать условие крупно и пометить равные отрезки и углы одним значком. Страх чаще всего относится к белому листу, и после чертежа задача перестаёт выглядеть чужой.