Задание 6 ЕГЭ по профильной математике

Шестое задание первой части — одно уравнение, корень которого надо найти и записать числом. Оно коротко сформулировано и решается за несколько строк, но из всех заданий первой части именно здесь больше всего ответов, которые выглядят верно, а проверка показывает обратное. Причина в том, что уравнение решают по правилам преобразований, а правила эти иногда добавляют лишние корни, и без подстановки в начальное уравнение не обойтись.

Нумерация профильной математики за последние годы менялась, поэтому в сборниках разных лет уравнения могут стоять под разными номерами. Статья написана по действующей демоверсии, где это шестое задание; для своего года номер сверьте по демоверсии на сайте ФИПИ.

Пять семейств под одним номером

Уравнение в этом задании не бывает сложным по технике: хватает школьных способов решения. Типов несколько.

• дробно-рациональные: неизвестное стоит в знаменателе, знаменатель не может обращаться в ноль
• иррациональные: неизвестное под знаком корня, корень не может быть отрицательным
• показательные: неизвестное в показателе степени, обе части приводятся к одному основанию
• логарифмические: неизвестное под логарифмом, под логарифмом стоит только положительное число
• линейные и квадратные: самый короткий случай, но и в нём условие может просить «наибольший корень»

Тригонометрическое уравнение в этом номере встречается редко, и на него я бы время на старте не тратил: оно разбирается отдельно, в статье про тригонометрические уравнения. Но каждое из пяти семейств выше стоит отработать до автоматизма. Они все построены одинаково: сначала преобразование, потом корень, потом проверка.

Иррациональные: корень, которого нет

Начнём с самого простого. Уравнение «корень из выражения 3x минус 5 равен 4». Возводим обе части в квадрат: 3x минус 5 равно 16, откуда x равен 7. Подставляем: 3 на 7 минус 5 даёт 16, корень из 16 равен 4, всё сходится. Ответ 7.

А теперь уравнение «корень из x плюс 6 равен x». После возведения в квадрат: x плюс 6 равно x в квадрате, то есть x в квадрате минус x минус 6 равно нулю. Корней два: 3 и минус 2. Проверка корня минус 2 даёт слева корень из 4, то есть 2, а справа минус 2. Не сходится. Остаётся 3. Если записать в бланк оба корня или выбрать не тот, получите ноль за задание, хотя вся работа сделана верно.

Лишний корень появляется потому, что возведение в квадрат теряет знак: квадрат числа 2 равен квадрату числа минус 2. Корень же из числа неотрицателен по определению. Правило одно и действует всегда: после возведения в квадрат корни нужно проверить подстановкой. Я бы добавил, что проверять стоит и во всех остальных уравнениях этого номера, не только в иррациональных. Подстановка занимает полминуты, ловит ошибку в арифметике и там, где лишнего корня нет.

Корень нечётной степени ведёт себя иначе. Уравнение «корень кубический из x плюс 3 равен 2» даёт x плюс 3 равно 8 и x равно 5, и здесь возведение в куб лишних корней не создаёт, потому что кубический корень определён для любых чисел и знак сохраняет. Ловушка в том, что правило про проверку у ученика уже закреплено как общее и применяется механически; это безвредно, но и не обязательно. Различать корни чётной и нечётной степени полезно, потому что от этого зависит, нужна ли проверка по смыслу, а не только по арифметике.

Логарифмы: область определения до решения

Логарифмическое уравнение «логарифм по основанию 2 от x плюс 3 равен 4» решается по определению: x плюс 3 равно 2 в четвёртой степени, то есть 16, откуда x равен 13. Другое: логарифм по основанию 5 от 2x минус 1 равен логарифму по основанию 5 от x плюс 4. Основания одинаковые, значит, равны и выражения под знаком: 2x минус 1 равно x плюс 4, откуда x равен 5. Проверка: оба выражения под знаком равны 9, положительны, подходит.

Трудности начинаются, когда в уравнении сумма логарифмов. Уравнение «логарифм по основанию 2 от x плюс логарифм по основанию 2 от x минус 2 равен 3». Сумма логарифмов — логарифм произведения, поэтому x на (x минус 2) равно 8, то есть x в квадрате минус 2x минус 8 равно нулю. Корни 4 и минус 2. Для минус 2 исходные логарифмы не определены, потому что под знаком стоят отрицательные числа. Остаётся 4. Проверка: логарифм по основанию 2 от 4 равен 2, от 2 равен 1, сумма 3.

Основание тоже способно поставить подножку. Логарифм по основанию одна вторая от (3 минус x) равен минус 2. По определению 3 минус x равно одной второй в степени минус 2, а это 4, откуда x равен минус 1. Минус перед ответом в бланк переносится как обычная цифра, и его теряют заметно чаще, чем кажется. Там же две ловушки подряд: основание меньше единицы и отрицательный показатель. Каждая по отдельности известна, вместе они сбивают.

Практически полезная привычка: прежде чем преобразовывать логарифмическое уравнение, написать условие «выражение под знаком положительное» отдельной строкой. Так вы заранее знаете, какие значения неизвестного недопустимы, и при получении корня сверяете его с этим условием, а не с памятью. Подробнее о самих логарифмах и их свойствах рассказано в статье про логарифмы.

Показательные: привести к одному основанию

Показательное уравнение «3 в степени x минус 2 равно 27». Число 27 — это 3 в кубе, значит, x минус 2 равно 3, откуда x равен 5. Чуть сложнее «4 в степени x минус 1 равно 8»: оба числа — степени двойки, 4 равно 2 в квадрате, 8 равно 2 в кубе. Слева получается 2 в степени (2x минус 2), справа 2 в кубе, откуда 2x минус 2 равно 3 и x равен 2,5. Дробный ответ записывается с запятой, 2,5. Запись 5/2 бланк не примет.

Здесь лишних корней не бывает, но есть другая ловушка: правила степеней путаются. Когда степень возводят в степень, показатели перемножаются, и 4 в степени (x минус 1) превращается в 2 в степени 2 на (x минус 1). Когда степени с одним основанием умножают, показатели складываются. Две эти фразы похожи, и ошибка в выборе между ними живёт в тетрадях годами. Проверка подстановкой и здесь спасает: подставьте 2,5 в исходное и убедитесь, что слева действительно получается 8.

Два корня и слова условия

Квадратное уравнение вроде бы самое простое, но у него два корня, и условие нередко просит выбрать один: наибольший, наименьший, положительный. Пусть получилось x в квадрате минус 4x минус 5 равно нулю, корни 5 и минус 1. Если в условии «наибольший корень», ответ 5; если «наименьший», минус 1. Для самопроверки пригодится теорема Виета: сумма корней равна 4, а произведение минус 5, и пара 5 и минус 1 этим условиям отвечает. Ученики, которые торопятся, записывают первый найденный корень. Поэтому слова «наибольший», «наименьший», «положительный», «если корней несколько, в ответе запишите меньший» стоит подчёркивать до решения.

Отдельное слово про дробно-рациональные уравнения. Уравнение «(2x плюс 1) делить на (x минус 1) равно 3» после умножения на знаменатель превращается в 2x плюс 1 равно 3x минус 3, откуда x равен 4. Проверка: числитель 9, знаменатель 3, их частное 3. А уравнение «(x в квадрате минус 4) делить на (x минус 2) равно нулю» даёт корни 2 и минус 2, из которых 2 обращает знаменатель в ноль и отбрасывается. Остаётся минус 2.

Откуда эти темы и что делать, если не идёт

Уравнения всех пяти семейств проходятся в основной и старшей школе, но по отдельности и в разные годы: квадратные в восьмом классе, показательные и логарифмические в десятом-одиннадцатом. К экзамену они сливаются в один номер, и именно переключение между типами отнимает время. Хорошая тренировка: взять по два уравнения каждого типа и написать на карточке, в чём проверка корня. Через неделю повторить по карточкам и решить по одному новому.

Ещё одна деталь, которая стоит секунды внимания: уравнение иногда записано так, что неизвестное встречается в двух местах, например и под корнем, и вне его. Такой вид сразу подсказывает, что после возведения в квадрат придётся проверять корни, и лучше помнить об этом с первой строки, чем вспоминать на последней.

Порядок действий у всех пяти семейств одинаков, и его стоит проговаривать про себя при каждом уравнении. Сначала определить тип. Затем записать, при каких значениях неизвестного запись вообще имеет смысл. Решить. Выбрать корень по словам условия. Подставить. Записать в бланк в нужной форме. Ученики, которые держат этот порядок, ошибаются редко, а те, кто сразу бросается преобразовывать, ошибаются как раз в тех местах, которые пропустили.

Если не идёт один тип, значит, нужна тема этого типа. Если не идут все, дело в основе: действия со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Эти формулы разобраны в статье про формулы сокращённого умножения, а как те же уравнения усложняются во второй части, видно в статье про уравнения во второй части ЕГЭ.

Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике с пробным уроком
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Соседние номера: пятое задание и седьмое; общий порядок работы над первой частью описан в статье про первую часть ЕГЭ по математике, устройство всей работы — в разборе структуры профильной математики. Слабые темы школьного курса, откуда растут и ошибки в уравнениях, собраны в статье про то, что западает чаще всего.

Вопросы и ответы

Всегда ли надо проверять корень подстановкой? Всегда, если возводили в квадрат, умножали на выражение с неизвестным или применяли свойства логарифмов. В остальных случаях проверка не обязательна, но она дешёвая: полминуты на подстановку против возможности отдать верно решённое задание из-за пропущенного минуса или перепутанных чисел. На экзамене такая сделка почти всегда выгодна, потому что времени у первой части больше, чем кажется, пока вы не начали зависать над одним номером.

Что делать, если оба корня подходят, а в ответ нужен один? Перечитать условие: там указано, какой именно, наибольший или наименьший. Если уточнения нет, значит, корень один, и второй найден с ошибкой либо должен быть отброшен.

Нужны ли здесь тригонометрические уравнения? Редко. Если тригонометрическое уравнение всё же встретилось, обычно сразу указан промежуток, на котором корень надо выбрать. Сверьтесь по демоверсии своего года.

Как записывать ответ, если получилась обыкновенная дробь? Перевести в десятичную: вместо 5/2 писать 2,5, вместо 7/4 писать 1,75. Если дробь получилась бесконечной, а округлять в условии не просят, где-то допущена ошибка: задания этого номера составляют так, чтобы корень записывался конечной дробью или целым числом. Но если вы решили всё верно, а число не вписывается в бланк, перечитайте условие: возможно, вас просят именно округлить.