Задание 3 ЕГЭ по профильной математике

Стереометрия в первой части не требует воображения в том смысле, в каком его требует вторая часть. Здесь нужно знать формулы объёма и поверхности нескольких тел, помнить, как связаны размеры подобных фигур, и умело превратить пространственное условие в плоский прямоугольный треугольник, где уже действует теорема Пифагора. Нумерация профильной математики менялась, и номер стереометрического задания зависит от года, по которому составлен сборник, так что сверяйте его по демоверсии своего года. Содержание в основе остаётся тем же: формулы объёмов и поверхностей и прямоугольный треугольник внутри тела.

Хорошая новость в том, что к третьему заданию можно готовиться как к списку, а список невелик. Плохая новость тоже есть. В стереометрию ученик приходит в десятом классе, когда планиметрия уже забыта, а в одиннадцатом её нечем повторить, потому что одиннадцатый класс идёт через тела вращения и производные. К апрелю формулы объёма конуса и пирамиды тают первыми. Причина проста: объёмы тел проходятся одним блоком курса, и после него почти нигде не применяются.

Какие тела приходится держать в голове

Минимум, без которого за задание браться рано, помещается в семь записей, по одной на тело. Записывать лучше словами, чтобы не перепутать, что куда входит.

• куб с ребром a: объём a в кубе, площадь поверхности шесть a в квадрате, диагональ a на корень из трёх
• прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c: объём a на b на c, квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений
• призма: объём равен площади основания, умноженной на высоту
• пирамида: объём равен одной трети площади основания на высоту
• цилиндр: объём пи на квадрат радиуса на высоту, площадь боковой поверхности два пи радиуса на высоту
• конус: объём равен одной трети пи на квадрат радиуса на высоту, образующая находится по теореме Пифагора из радиуса и высоты
• шар: объём четыре трети пи на радиус в кубе, площадь поверхности четыре пи на квадрат радиуса

Две формулы из семи, пирамида и конус, отличаются от цилиндра и призмы только множителем одна треть, и именно в нём теряют больше всего. Привычка вывода помогает: объём пирамиды втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой, конус втрое меньше цилиндра. Если запомнить это как факт про отношения, множитель уже не забудется, потому что вы будете знать, откуда он берётся. Для проверки достаточно вообразить цилиндр, в который налита вода: конус с тем же основанием и той же высотой вмещает только треть.

Отдельно о слове «поверхность». Полная поверхность складывается из боковой и оснований, и если спрашивают площадь боковой, основания в сумму не входят. Для цилиндра с радиусом 3 и высотой 5 боковая поверхность равна два пи на 3 на 5, то есть 30 пи, а полная к ней добавляет два основания по 9 пи, итого 48 пи. Путаница в этой паре слов стоит ученикам немало, и самый надёжный способ от неё защититься — подчеркнуть слово «боковой» в условии до начала вычислений. То же с призмой: в боковой поверхности периметр основания умножается на высоту, и два основания к ней не прибавляются.

Разбор: цилиндр, конус и ответ без пи

Условие, которое встречается в разных обличьях, выглядит так: цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту, объём цилиндра равен 36, найти объём конуса. Раз конус втрое меньше цилиндра с тем же основанием и той же высотой, ответ 12. Никаких радиусов и высот по отдельности искать не нужно, и в этом главное достоинство задания: оно часто решается отношением, а не вычислением.

Шар вписан в куб с ребром 6. Радиус шара равен половине ребра, то есть 3, объём шара четыре трети пи на 27, то есть 36 пи; если спрашивают объём, делённый на пи, ответ 36. Часть учеников, увидев «вписан», пытается связывать шар с диагональю куба, а эта связь нужна для шара, описанного вокруг куба. Вписанный касается граней, описанный проходит через вершины.

Призма тоже встречается. Прямая призма, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, имеет высоту 10. Площадь основания 6, объём 60. Всё, что нужно запомнить, — что основание считается по своей формуле, а на высоту призмы умножают потом.

Другое типичное условие просит объём, делённый на число пи. Для конуса с радиусом 3 и высотой 4 объём равен одной трети пи на 9 на 4, то есть 12 пи, и ответ 12. Просьба «разделить на пи» означает, что число пи в ответ не входит вовсе, и бланк его не принимает. Если у вас в ответе остались буквы или корень, перечитайте последнюю строку условия: вероятно, там сказано, на что надо поделить.

Конус с радиусом 3 и высотой 4 заодно хорош для другого: образующая равна 5, потому что три в квадрате плюс четыре в квадрате дают 25, и боковая поверхность равна пи на радиус на образующую, то есть 15 пи. Набор 3, 4, 5 встречается в вариантах так часто, что его стоит узнавать с первого взгляда.

Подобие: во сколько раз вырастет

Отдельный тип заданий проверяет, понимает ли ученик, как меняется величина при увеличении размеров. Ребро куба увеличили втрое: объём вырос в 27 раз, поверхность в 9. Причина одна. Длины растут в k раз, площади в k в квадрате, объёмы в k в кубе. Люди, уверенно знающие эту фразу, всё равно часто умножают объём на три, как будто речь о длине.

Сосуды и жидкость — тоже подобие, хотя на вид это другое. Воду из цилиндрического сосуда перелили в другой цилиндрический сосуд с вдвое большим радиусом. Площадь основания выросла вчетверо, объём остался прежним, значит, уровень упал в четыре раза: если сначала он был 16, то станет 4. Тут решает запись «объём сохраняется, площадь основания изменилась», а формулы вторичны, и написать эту фразу нужно до чисел.

Диагонали и расстояния

В кубе и параллелепипеде диагональ находится по теореме Пифагора, примененной дважды. Диагональ куба с ребром 2 равна двум корням из трёх. Если же известна диагональ, равная корню из 12, ребро получается делением на корень из трёх: это два. Для параллелепипеда со сторонами 2, 3 и 6 квадрат диагонали равен 4 плюс 9 плюс 36, то есть 49, а диагональ 7. Числа здесь выбраны с умыслом: набор 2, 3, 6, 7 хорошо известен, и в разных видах он встречается в сборниках.

Расстояния и углы в первой части обычно сведены к прямоугольному треугольнику внутри тела. Ваша задача — найти этот треугольник на чертеже. Часто он содержит высоту пирамиды, половину диагонали основания и боковое ребро, а в конусе радиус, высоту и образующую. Выделить его цветом или двойной линией, чтобы он не терялся среди остальных рёбер, — полезный приём.

Посмотрим на правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания 6 и высотой 4. Объём: одна треть на 36 на 4, то есть 48. Если спросят площадь боковой поверхности, нужна апофема, высота боковой грани. Она лежит в прямоугольном треугольнике, где одним катетом служит высота пирамиды 4, а другим половина стороны основания 3: гипотенуза равна 5. Каждая из четырёх боковых граней имеет площадь, равную половине произведения 6 на 5, то есть 15, всего 60, а полная поверхность вместе с основанием 36 даёт 96. Заметьте, что боковое ребро нам не понадобилось вовсе: оно равно корню из 34, и ответ с корнем в первую часть не пошёл бы.

Рисунок: когда нужен, а когда мешает

Для задач на объём по готовым числам рисунок не нужен вовсе, достаточно формулы. Для задач на диагонали, расстояния и углы рисунок обязателен, и рисовать его надо крупно, с видимыми и невидимыми рёбрами, иначе глаз не отличает переднюю грань от задней. Спорный совет: не стремитесь к красоте. Для решения достаточно схемы, на которой правильно отмечены углы и отрезки, а тратить минуту на штриховку невидимых рёбер нет смысла.

Заметьте разницу с планиметрией. Там ошибка в чертеже ломает решение сразу, и это видно. В стереометрии первой части она чаще приводит к неверному ответу, который выглядит убедительно, потому что формула применена верно, а применена к другой величине. Чтобы это поймать, после решения полезно один раз проговорить: что я нашёл, и это то, что просили?

Если пространство не поддаётся

Нужно различать два случая. В первом ученик не помнит формулы. Тогда помогает простое упражнение: написать все семь по памяти на чистом листе и сверить с учебником, а ошибки переписать ещё раз. Во втором формулы известны, но не получается мысленно разрезать тело, и треугольник остаётся невидимым. Здесь помогает практика в разборе заданий с чертежом: подробнее о том, как стереометрия устроена на экзамене, читайте в статье про стереометрию на ЕГЭ, а о формулах для тел — в статье про объёмы и площади поверхностей тел.

Репетитор здесь нужен тогда, когда формулы вы знаете, а решить не можете. Он быстро показывает, на каком месте чертежа вы теряете треугольник. Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике с пробным уроком
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Соседние номера: второе задание и четвёртое; общий порядок работы над первой частью — в статье про первую часть ЕГЭ по математике, а структура всей работы разобрана в статье про структуру профильной математики. Слабые темы школьной математики, из которых растут ошибки в геометрии, собраны в статье про темы, которые западают чаще всего.

Вопросы и ответы

Нужно ли знать формулу объёма усечённой пирамиды? В первой части она встречается редко, а когда встречается, обычно задачу можно решить как разность двух объёмов: достроить пирамиду до полной и вычесть верхнюю.

Почему в ответе нет числа пи, хотя объём цилиндра содержит его? Потому что бланк принимает только целое число или конечную десятичную дробь, и задание составляют так, чтобы пи сокращалось. Условие просит найти объём, делённый на пи, или площадь, делённую на пи, или же содержит величины, из которых пи уходит при делении. Если в вашем ответе пи осталось, перечитайте последнюю строку условия: вопрос почти наверняка сформулирован иначе, чем вы его поняли.

Как быстро проверить объём пирамиды или конуса? Сравнить с призмой или цилиндром с тем же основанием и высотой. Должно получиться втрое меньше.

Что учить в первую очередь, если времени мало? Объёмы и поверхности по списку выше, затем подобие, потом диагонали. Расстояния и углы между скрещивающимися прямыми оставьте на потом: в первой части они встречаются реже и чаще всего сводятся к тому же прямоугольному треугольнику.