Задание 2 ЕГЭ по профильной математике

Вектор в школе встречается в двух обликах. Сначала это стрелка из геометрии: у неё есть начало, конец, длина и направление, и с ней складывают по правилу треугольника или параллелограмма. Потом это пара чисел в координатах, с которой можно складывать и умножать по обычным правилам алгебры. Второе задание профильного ЕГЭ требует переходить от одного облика к другому без остановки: условие может прийти рисунком со стрелками, а ответ получается арифметикой с числами. Номер этого задания в разные годы бывал разным, и в старом сборнике его можно встретить под другой цифрой, поэтому сверяйте нумерацию по демоверсии своего года. Тема же описывается одинаково: векторы, их координаты, сумма, скалярное произведение, угол между векторами.

Я думаю, это одно из самых коротких заданий первой части, если формулы выучены. Вычислений в нём мало, идей почти нет, а баллы теряются почти всегда по одной причине: знаки. Поэтому при решении первой части в два прохода, как описано в статье про первую часть, его удобно брать на первом проходе, пока внимание свежее.

Две записи одного вектора

Вектор из точки A с координатами (1; 2) в точку B с координатами (5; 5) имеет координаты (4; 3): от координат конца вычитаются координаты начала. Это самое первое, что надо знать твёрдо, потому что почти все дальнейшие действия растут отсюда. Длина такого вектора вычисляется по теореме Пифагора: корень из суммы квадратов координат, то есть корень из 16 плюс 9, пять.

Если в условии нарисованы стрелки на клетчатой бумаге или на координатной плоскости (такие условия встречаются нередко), координаты читаются по клеткам. Идёте от начала вектора к его концу: вправо и вверх числа положительные, влево и вниз отрицательные. Ошибка начинается там, где ученик смотрит на стрелку «в целом» и считает клетки без знака. Я бы приучал подписывать координаты рядом с каждой стрелкой сразу, до всяких вычислений: две пометки на черновике избавляют от половины неверных ответов.

В геометрических условиях вектор часто задан стороной фигуры. В параллелограмме ABCD сумма векторов AB и AD равна вектору AC, диагонали. Если A(0; 0), B(4; 1), D(1; 3), то AB имеет координаты (4; 1), AD (1; 3), сумма (5; 4), и вершина C стоит в точке (5; 4), а длина диагонали корень из 41. Правило параллелограмма, таким образом, превращается в сложение двух пар чисел.

Бывает и обратное: условие дано точками, а вектор надо построить самому. Тогда рисунок на черновике тоже нужен. Помогает проверка по смыслу: если вектор идёт из точки A в точку B, а B правее и выше, то обе координаты положительные. Если у вас получилась отрицательная, значит, вычитали в другом порядке.

Сумма, разность, длина

Действия с координатами устроены просто, и в голове лучше держать четыре короткие записи.

• сумма векторов: координаты складываются по отдельности, первая с первой, вторая со второй
• разность: так же, но с вычитанием, и порядок важен, a минус b не равно b минус a
• умножение на число: умножаются обе координаты, при отрицательном числе направление меняется на противоположное
• длина вектора: корень из суммы квадратов координат; длина суммы с длинами слагаемых связана только неравенством, равенство бывает лишь у сонаправленных

Попробуем всё сразу. Пусть a имеет координаты (6; −2), а b координаты (−2; 5). Сумма a плюс b равна (4; 3), её длина 5. Разность a минус b равна (8; −7). Вектор 2a минус b равен (14; −9): удваиваем первый, получаем (12; −4), вычитаем второй, что даёт 12 плюс 2 и минус 4 минус 5. Длина a равна корню из 40, то есть около 6,3, длина b равна корню из 29, около 5,4, а длина суммы только 5. Вот почему сложить длины и ответить «11,7» нельзя: ответ про сумму векторов требует сначала сложить сами векторы.

Если в условии спрашивают квадрат длины, корень извлекать не надо: лишнее действие превращает целый ответ в приближённый, который в бланк не запишешь. Читайте последнюю строку условия.

Скалярное произведение и угол

Скалярное произведение в координатах: умножить первые координаты, умножить вторые и сложить результаты. Для тех же векторов a и b получаем 6 на −2 плюс −2 на 5, то есть −12 минус 10, итого −22. Это число, а не вектор, и в ответ оно идёт именно числом. Знак у него тоже несёт информацию: положительное произведение означает острый угол между векторами, отрицательное тупой, а ноль прямой.

Ноль стоит знать отдельно, потому что он даёт самый короткий путь к ответу. Условие «при каком значении k векторы перпендикулярны» решается одним уравнением. Пусть a имеет координаты (k; 3), а b координаты (2; −6). Скалярное произведение равно 2k минус 18, приравниваем к нулю, получаем k = 9. Больше нет ничего, ни чертежа, ни теорем.

Если нужен угол, пользуются косинусом: косинус угла равен скалярному произведению, делённому на произведение длин. Пусть вектор a имеет координаты (2; 0), а b координаты (3; 3). Скалярное произведение 6, длины 2 и три корня из двух, то есть произведение длин 6 корней из двух, косинус равен 1 на корень из двух. Это косинус сорока пяти градусов, так что ответ 45. Значения косинуса для 30, 45 и 60 градусов поэтому приходится помнить наизусть: справочной таблицы под рукой не будет.

Такой путь работает и тогда, когда условие приходит рисунком, и в вариантах, где точки заданы буквами и числами. Единственное, чего он не терпит, — спешки при знаках: любой минус, потерянный в скалярном произведении, превращает острый угол в тупой.

Знак, который переворачивает ответ

Чаще всего ломается одно из четырёх мест. Координаты вектора находят вычитанием в обратном порядке, отнимая координаты конца от координат начала: получается вектор, направленный в другую сторону, и все последующие знаки меняются. Сумма двух векторов с разными знаками записывается как сумма модулей. В скалярном произведении перемножаются первая координата одного вектора со второй координатой другого. Длина вектора выписывается без корня, а затем корень берётся только из одного слагаемого.

Посмотрим, как это выглядит на задаче. Даны точки A(2; 1), B(6; 4) и C(−1; 3), нужно найти скалярное произведение векторов AB и AC. Вектор AB имеет координаты (4; 3), вектор AC (−3; 2). Произведение: 4 на −3 плюс 3 на 2, то есть −12 плюс 6, итого −6. Угол при вершине A тупой, потому что число отрицательное. Если же развернуть только один из векторов и вместо AB посчитать BA, выйдет (−4; −3) и произведение с обратным знаком, то есть 6. Ответ «6» выглядит правдоподобно, и без проверки по рисунку его не отличить от верного.

Помогает единственная привычка: после каждой записи координат смотреть на рисунок и проверять, соответствует ли знак направлению. Вектор вверх и вправо не может иметь минус при первой координате. Эта проверка занимает секунду, а работает лучше повторного пересчёта, потому что повторный пересчёт воспроизводит ту же ошибку по тому же образцу.

Родственная задача на середину отрезка: координаты середины равны полусуммам координат концов. Для A(2; 1) и B(6; 4) середина имеет координаты (4; 2,5). Вторая координата дробная, и в ответ, если спросят именно её, пойдёт 2,5 с запятой, без дроби вида 5/2. Здесь полезно помнить, что середина отрезка и вектор к ней связаны: половина вектора AB равна вектору от A до середины, то есть (2; 1,5), и прибавление его к точке A приводит в ту же середину.

Другая ловушка касается десятичных дробей. Ответ в первой части принимается целым или конечной десятичной, а скалярное произведение даёт целое, если координаты целые. Но косинус угла приходится делить, и тут легко получить дробь, которую нужно привести к десятичной. Про такую запись вы можете почитать в статье про десятичные дроби.

Откуда это взялось в программе и как повторять

Векторы появляются в основной школе, вместе с координатным методом, а в старших классах переходят в пространство, где добавляется третья координата. В экзаменационных условиях третья координата может встретиться, формулы тогда те же с одним лишним слагаемым. Полный разбор темы есть в статье про векторы на плоскости и в пространстве.

К одиннадцатому классу многое забыто по простой причине: тема короткая и после неё долго идут другие. Если формулы не всплывают, повторять надо в таком порядке: сначала координаты вектора по двум точкам, затем длина, затем скалярное произведение и только потом угол. Идти обратно бессмысленно, угол без трёх предыдущих шагов не решается.

Хорошее время для повторения — несколько коротких заходов, а не один длинный. Десять-пятнадцать минут над условиями, в которых нужно только записать координаты, дают больше, чем час над сложным вариантом. А если после недели таких заходов знаки по-прежнему «гуляют», разбирать их удобнее на занятии, чтобы кто-то посмотрел, как именно вы пишете.

Начать поиск репетитора можно по нескольким ссылкам:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике с пробным уроком

Соседние номера: первое задание и третье; устройство первой части в целом — в статье про первую часть ЕГЭ по математике, а всей работы — в разборе структуры ЕГЭ по профильной математике. О слабых местах школьной программы, откуда растут и ошибки со знаками, говорит статья про темы, которые западают чаще всего.

Вопросы и ответы

Нужно ли знать правило параллелограмма и правило треугольника? Да, но в виде координат. Правило параллелограмма превращается в сложение пар чисел, правило треугольника в то же самое с другим порядком записи. Рисунок на экзамене используется как способ задать числа, и если вы научились читать координаты стрелки, рисовать их самому почти не придётся.

Чем скалярное произведение отличается от обычного умножения чисел? Результат у него число, но складывается оно из двух произведений: первых координат и вторых. Умножать вектор на вектор «как число на число» нельзя.

Что делать, если вектор задан в пространстве? Добавить третье слагаемое во всех формулах. Длина: корень из суммы трёх квадратов. Скалярное произведение: три произведения, сложенные вместе. Сумма и разность считаются по каждой из трёх координат. Принцип не меняется, меняется только объём записи, и потому ошибки приходят из-за невнимательности, а не из-за темы. Если вы уверенно решаете плоский случай, пространственный освоится за вечер.

Как понять, что векторы параллельны? Координаты пропорциональны: первая координата одного относится к первой другого так же, как вторая ко второй. Этот признак встречается реже перпендикулярности, но формулируется так же коротко.

Нужен ли чертёж, если в условии даны только числа? Для проверки знака нужен: небольшой набросок стрелок на черновике занимает секунды и защищает от перепутанного направления.