Задание 4 ЕГЭ по профильной математике

Классическое определение вероятности умещается в одну строчку: число благоприятных исходов делится на число всех возможных. Формулу знают все, кто доходил до этой темы, а вся трудность четвёртого задания сидит в слове «равновозможных»: в формулировке определения оно стоит мелким шрифтом, и на нём держится весь расчёт. Если исходы не равновозможны, деление теряет смысл, и ответ получается красивый и неверный.

Нумерация профильной математики за последние годы менялась, и в старых пособиях вероятность может стоять под другими номерами; свой номер сверяйте по демоверсии года. Содержание в этих пособиях одно: классическое определение вероятности и задачи на подсчёт исходов, о которых и пойдёт речь.

Две монеты и четыре исхода

Монету бросают дважды, нужно найти вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Типичная ошибка выглядит убедительно. Ученик перечисляет возможное: орёл выпал ноль раз, один раз, два раза. Исходов получилось три, благоприятный один, ответ одна треть. Беда в том, что эти три исхода не равновозможны. Если записывать результат каждого броска, исходов четыре: орёл и орёл, орёл и решка, решка и орёл, решка и решка. Они равновозможны, и в двух из них орёл один, так что ответ 0,5.

Проверить, равновозможны ли исходы, можно простым вопросом: если поменять два исхода местами, изменится ли что-нибудь в условии? Орёл-решка и решка-орёл при обмене не отличаются ничем, кроме порядка, значит, они равноправны. Исход «ноль орлов» и исход «один орёл» равноправными не будут: второй получается двумя способами, первый одним.

Правило отсюда извлекается простое: исходы описывают так, чтобы они были равновозможными, и если есть сомнение, различают предметы и порядок. Две одинаковые на вид монеты в расчёте считаются разными, потому что результат каждой записывается отдельно. С тремя монетами то же самое: исходов восемь, ровно два орла в трёх из них, 3 деленное на 8 дают 0,375. Тот, кто попытается обойтись без списка и «подумать», ошибётся на третьей монете.

Я бы советовал в четвёртом задании не использовать формулы сочетаний, пока список исходов умещается на полстраницы. Список надёжнее: его можно перечитать, а в формуле ошибку не видно. Формулы нужны тогда, когда исходов сотни, а в первой части такие условия обычно не попадаются.

Жребий, билеты, очередь выступлений

Есть класс условий, где считать почти ничего не нужно и вся трудность в понимании. На научной конференции 30 докладчиков, 12 из них приехали из России. Порядок выступлений определяется жребием, и нужно найти вероятность, что десятым выступит докладчик из России. Многие начинают прикидывать, кто мог выступить до него, и запутываются. А достаточно заметить, что номер выступления ничего не значит: любой докладчик равновозможно может оказаться десятым. Благоприятных исходов 12, всего 30, ответ 0,4. Номер 10 в условии отвлекает и на ответ не влияет.

Билеты устроены так же. Из 25 билетов пять с вопросом по геометрии. Вероятность вытянуть такой билет равна одной пятой, то есть 0,2, независимо от того, вытягиваете вы первым или последним. Это неочевидно на уровне ощущений: кажется, что последнему достаются остатки, но положение каждого билета в стопке случайно, и любой из 25 одинаково вероятно окажется на любом месте. Пока вы не видите, что вытянули другие, ваши шансы остаются прежними.

Дежурного по классу выбирают жребием из 28 учеников, и девочек среди них 7. Вероятность, что дежурным окажется мальчик, считается как 21 из 28, то есть 0,75, а вовсе не как «половина на половину»: доли в классе неравные, и это условие важнее привычки считать всё поровну.

Приём для таких условий единый: отбросить подробности и посмотреть, сколько всего вариантов у выбранного объекта и сколько из них подходит. Подробности не лишние в жизни, но в расчёте они шум. Тренировка здесь сводится к умению вычёркивать лишнее и сохранять нужное. Нужное почти всегда спрятано в одном слове условия, и про эти слова ниже.

Слова, которые меняют задачу

Один и тот же кубик даёт разные ответы в зависимости от одного слова. Дважды бросают игральную кость, сумма очков больше 10: благоприятных исходов три, пятёрка и шестёрка в двух порядках и две шестёрки, всего 3 из 36, то есть 0,08 при округлении до сотых. Если в условии «не меньше 10», добавляются исходы с суммой 10, это 4 и 6, 5 и 5, 6 и 4, и всего их шесть из 36, ответ 0,17. Разница в слове «больше» против «не меньше» стоит вдвое.

С монетой та же история. Монету бросают дважды, и условие просит найти вероятность того, что орёл выпадет хотя бы раз. Перечислять три благоприятных исхода можно, но быстрее посчитать противоположное: нет орла ни разу, это единственный исход из четырёх, значит, искомая вероятность 1 минус 0,25, то есть 0,75. Этот приём, вычитание из единицы, потом пригодится в пятом задании, и стоит привыкнуть к нему именно здесь, где проверить результат можно, просто выписав все исходы.

Чем больше деталей, тем осторожнее надо читать. «Ровно», «не более», «хотя бы», «больше», «меньше» читаются глазом как служебные, но каждое из них задаёт границу. Подчёркивайте их в условии сразу при первом чтении, до всяких вычислений, это занимает секунды.

Кубик, округление и запятая

Игральную кость бросают дважды, исходов 36. Найти вероятность того, что сумма очков равна 7. Благоприятных исходов шесть: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 и три пары в обратном порядке. Порядок снова различается, и если списка не писать, пар легко насчитать три. Вероятность шесть тридцать шестых, то есть одна шестая, а это бесконечная десятичная дробь 0,1666... В бланк такое записать нельзя. Когда конечной дроби не получается, условие обычно само просит округлить результат, например до сотых: тогда ответ 0,17. Если просьбы нет, а у вас бесконечная дробь, стоит перечитать условие: вероятно, исходов посчитано не те.

Хороший пример без округления: оба числа на двух кубиках чётные. На каждом кубике чётных по три, пар 9 из 36, это 0,25. Записывается 0,25. Дробь с чертой, вроде 1/4, бланк не принимает. Десятичная запятая — единственный допустимый разделитель. Проценты тоже не годятся: 20 процентов надо записывать как 0,2, и это одна из самых глупых и самых частых потерь.

Из тех же соображений вероятность не бывает больше единицы. Если у вас получилось 1,2, вы поделили благоприятные исходы на число, которое меньше их числа, либо не заметили, что событие пересчитано дважды. Проверка занимает секунду, а спасает почти от каждой арифметической ошибки.

Бывают и условия про долю без случайности в слове: в магазине 50 телефонов, из них 3 неисправны, покупатель выбирает один наугад, найдите вероятность того, что он исправен. Благоприятных исходов 47, всего 50, ответ 0,94. Здесь тоже можно пойти через противоположное событие: неисправный телефон 3 из 50, то есть 0,06, и 1 минус 0,06. Какой путь выбрать, подсказывает условие: если благоприятных исходов много, а неблагоприятных мало, считают малую часть и вычитают из единицы.

Задание или тема: как отличить

Если вы справляетесь с монетами и кубиками, но ломаетесь на условиях из жизни, дело в чтении: надо учиться находить в условии объекты и их число. Если вы не справляетесь даже с кубиками, тема не освоена, и бессмысленно решать варианты по принципу «ещё один, и получится»: сначала разберите по учебнику, что такое элементарный исход и равновозможность. Если справляетесь с обычным, но ошибаетесь в условиях со словами «хотя бы» и «не менее», упражнение другое: взять десяток условий и по каждому только подчеркнуть слова-границы и записать, что они означают, ничего не считая.

Признак, что нужен репетитор, а не ещё один сборник: ошибки повторяются в разных вариантах и всегда одного рода. Сборник покажет вам правильный ответ, но не покажет, почему вы к нему не пришли.

Откуда берётся эта тема и куда ведёт

Вероятность вошла в школьный курс не так давно, и пособия разных лет описывают её по-разному. Классическое определение даётся в основной школе, а в старших классах добавляются комбинаторика, сложные события и условная вероятность. Если вы учились по старой программе, часть этого материала могла пройти мимо, и первое знакомство будет происходить уже при подготовке к экзамену. Тема школьной вероятности подробно разобрана в статье про теорию вероятностей в школьном курсе, а как она устроена на экзамене, объяснено в статье про теорию вероятностей на ЕГЭ.

Четвёртое задание нужно доводить до автоматизма не только само по себе. Следующее, пятое, спрашивает про сложные события: независимые события, сложение и умножение вероятностей. Но ученик, который путается с исходами здесь, там запутается ещё сильнее. Основание у обоих заданий общее: аккуратно записанное пространство исходов. Привычка выписывать его, даже когда кажется, что ответ очевиден, окупается не в четвёртом задании, а в пятом, где ошибка уже не видна простым пересчётом, и в вероятностных задачах других частей работы. Проверьте себя на любом пробнике: сколько заданий по вероятности вы решили, не написав ни одного исхода? Если ответ «все», значит, на экзамене вы полагаетесь на память, а память в напряжении подводит первой.

Если простые условия вам не даются, имеет смысл поработать с преподавателем: достаточно одного занятия, где ученик решает вслух. Начать поиск:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике с пробным уроком

Соседние номера: третье задание и пятое; порядок работы над всей первой частью описан в статье про первую часть ЕГЭ по математике, структура экзамена — в разборе структуры профильной математики. Темы школьного курса, на которых обычно срываются, названы в статье про то, что западает чаще всего.

Вопросы и ответы

Когда нужна формула сочетаний? Когда исходов слишком много для списка: например, выбор нескольких человек из группы или карт из колоды. В четвёртом задании это редкость, формулы сочетаний чаще нужны в пятом и в школьных контрольных. Сочетания из n по k считаются как произведение k чисел от n вниз, делённое на k факториал; уметь это применять полезно, но начинать стоит со списка, потому что на нём видно, что именно вы считаете.

Почему ответ 1/6 не принимается? Потому что бланк первой части принимает только целое число или конечную десятичную дробь. Для одной шестой надо записать 0,17 при просьбе округлить до сотых, а если округление в условии не упомянуто, значит, получилось не то число.

Можно ли считать вероятность по проценту из статистики? Нет, в этом задании вероятность считается по условию: монета симметричная, кубик правильный, жребий честный. Слова «симметричная» и «правильная» означают равновозможные исходы, и условия вроде «орёл выпадает чаще» в таком задании не встречаются без прямой оговорки. Частота из наблюдений появляется в других темах, где её специально оговаривают.