Задание 1 ЕГЭ по профильной математике

Планиметрия в первом задании берётся из основной школы почти целиком: треугольники и четырёхугольники, окружность и углы, которые на ней стоят, подобие, площади. Из старших классов сюда ничего не заходит, и поэтому первое задание проверяет скорее сохранность старого знания, чем умение освоить новое. Нумерация заданий профильной математики за последние годы менялась, и в сборниках разных лет один и тот же материал подписан разными цифрами, поэтому номер своего года сверяйте по демоверсии на сайте ФИПИ. Со школьной геометрией при этом ничего не происходит: теоремы и формулы остаются теми же, и подготовка к этому заданию от смены нумерации почти не зависит.

От ученика требуется найти одну величину: сторону, угол, площадь, высоту, радиус. Ответ записывается числом. Весь вопрос в том, как дойти до числа без потерь, и у первого задания на этот счёт есть свои приёмы.

Что именно проверяют

По кодификатору это умение находить длины, углы и площади, пользуясь свойствами плоских фигур. В вариантах встречаются прямоугольный треугольник с тригонометрией острого угла, равнобедренный треугольник, параллелограмм или трапеция с площадью, окружность с вписанным и центральным углами, пара подобных треугольников. Условие приходит текстом, иногда с рисунком, и рисунок обычно выполнен без масштаба, так что «снять размеры глазом» не выйдет.

Верхняя граница сложности невысока. Если для решения нужна идея, которой не было в учебнике основной школы, вероятнее всего, вы читаете условие уже второй части. Нижняя граница тоже определённая: задание не решается устно за пять секунд, потому что в нём всегда есть хотя бы одно действие по формуле.

Связь со второй частью прямая, и ради неё первое задание стоит делать хорошо. Планиметрия во второй части строится из тех же фактов: равные углы, подобие, свойства окружности. Только там их надо связать в цепочку и обосновать каждое звено письменно, о чём подробнее в статье про планиметрию во второй части ЕГЭ. Ученик, который в первом задании путается в вписанных углах, во второй части будет путаться в них же, только с большей ценой. Поэтому на первом задании удобнее отрабатывать набор фактов, чем скорость: после каждого решённого условия назовите вслух теоремы, которые в нём использовались, и отметьте те, что вспомнились с задержкой. Такие отметки со временем складываются в личный список слабых мест, и он полезнее любого чужого.

Чертёж и первая строка решения

Свой чертёж я советую делать всегда, даже когда в условии есть рисунок. Готовый рисунок содержит лишнее, подписать на нём свои пометки трудно, и через две минуты на нём ничего не разобрать. На черновике фигура рисуется крупно, на ней же отмечаются данные числа и то, что требуется найти. Если фигура получилась странной, значит, условие понято иначе, чем задумано, и лучше выяснить это сейчас.

Первой строкой решения идёт то, что вы знаете, и лишь затем то, что надо найти. Пусть дан прямоугольный треугольник и синус острого угла. Пишете: синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Потом подставляете числа. Записывать такую очевидность кажется лишним, но именно в пропущенной строке живут перепутанные синус и косинус.

Часть репетиторов требует расписывать решение первой части так же подробно, как во второй. Я бы не стал. Машина читает только число, подробное оформление отнимает время у других номеров. Хватит формулы и подстановки, затем результат. Подробно писать приходится там, где решение читает человек.

Ловушка в равнобедренном треугольнике

Разберём одно условие целиком. В треугольнике две стороны по 5, а третья, основание, равна 6; нужно найти косинус угла при основании. Многие сразу делят шесть на пять и получают 1,2, а косинус больше единицы бывает только по ошибке. Другая версия ошибки: делят три на пять и получают верное 0,6, но не понимая, откуда взялась тройка.

Правильный ход начинается с высоты. Она проведена из вершины к основанию и делит его пополам, то есть на две части по 3. Получаются два одинаковых прямоугольных треугольника с гипотенузой 5 и катетом 3. Косинус угла при основании равен прилежащему катету, делённому на гипотенузу: 3 на 5, то есть 0,6. Заодно видно, что высота равна 4, потому что 25 минус 9 равно 16, и для нахождения площади или тангенса этот шаг пригодился бы.

Нужно ли такое решение писать полностью? В черновике нужен чертёж с высотой и две строки с числами. В бланк идёт 0,6, и больше ничего.

Четыре условия с числами

Условия ниже придуманы для разбора и в вариантах слово в слово не встречаются, но по типу их узнают сразу.

• прямоугольный треугольник: гипотенуза 20, синус одного из острых углов 0,6, надо найти противолежащий катет; он равен 20 на 0,6, то есть 12, а второй катет по теореме Пифагора 16, а ответ 16 вместо 12 получает тот, кто взял не тот катет
• равнобедренный треугольник: основание 10, боковая сторона 13, найти площадь; высота к основанию делит его на два отрезка по 5, значит, она равна 12 (169 минус 25 даёт 144), и площадь 10 на 12 пополам равна 60
• окружность: центральный угол опирается на дугу в 100 градусов, найти вписанный угол, опирающийся на ту же дугу; вписанный вдвое меньше центрального, ответ 50, и 200 получают те, кто запомнил слово «вдвое» без направления
• параллелограмм: стороны 8 и 5, угол между ними 30 градусов, найти площадь; формула «сторона на сторону на синус угла» даёт 8 на 5 на одну вторую, то есть 20

Все четыре решаются в три строки. Если на каком-то у вас уходит больше пяти минут, не хватает, скорее всего, знания самой формулы, и пересчитывать то же самое снова бесполезно.

Есть формулы, которые из памяти уходят первыми. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: при основаниях 7 и 13 она равна 10, и если высота 4, площадь трапеции 40. Противоположные углы четырёхугольника, вписанного в окружность, дают в сумме 180 градусов. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Площадь описанного многоугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности. Ни одна из этих фраз не требует вывода, их достаточно знать, и репетитор на занятии проверяет здесь скорость, с которой формула всплывает в памяти.

Отдельно про подобие, потому что его забывают раньше остального. При коэффициенте подобия 3 длины растут втрое, а площади в девять раз. Если площадь меньшего треугольника 4, площадь большего 36. Типичная ошибка тут одна: умножают на три, получают 12 и записывают в ответ площадь, которая вовсе не площадь.

Как учить такие формулы? Один раз написать от руки на листе, без шпаргалок, сверить с учебником и поправить ошибки цветом. Перечитывание готового списка запоминанию почти не помогает, это распространённая иллюзия, а вот попытка вспомнить и найти пропуск работает. Через неделю лист проверяют заново, закрыв подсказку, и то, что не вспомнилось, переписывают ещё раз.

Запись ответа и корни

Первая часть принимает целое число или конечную десятичную дробь. Отсюда правило, которое избавляет от половины паники: если у вас вышел ответ с корнем, где-то в последней строке условия, вероятно, осталась просьба, которую вы пропустили. В таких заданиях часто просят поделить результат на корень из трёх, из двух или на число пи, и тогда корень уходит. Прочитайте последнюю строку ещё раз.

Единицы измерения в ответ не пишутся. Если площадь вышла в квадратных сантиметрах, а спросили в квадратных метрах, единицы приводят в начале, пока числа ещё перед глазами, а не в конце, когда про них уже забыли. Дробь вида 7/4 бланк не примет, пишется 1,75. Действия с десятичными дробями вы делаете каждый день, и всё же именно они осыпаются в первой части: повторить их можно по статье про десятичные дроби.

Откуда берётся забытое и что делать, если не идёт

Основные теоремы этого задания проходятся в седьмом-девятом классах, а в десятом и одиннадцатом геометрия уезжает в пространство. Планиметрия после девятого класса почти не повторяется, и к экзамену выясняется, что тангенс острого угла в голове есть, а формулы площади параллелограмма нет. Это нормально и лечится за несколько занятий, если лечить адресно.

Когда задание не идёт, полезно понять, на каком шаге вы остановились. Если не получилось нарисовать фигуру по условию, дело в чтении, и геометрия ни при чём. Если фигура нарисована, но не приходит в голову, какое свойство применить, нужна тема: начните со статьи про треугольники и со статьи про окружность, углы и касательные. Если формулы известны, а ответ отличается от верного на множитель или на двойку, причина в арифметике и привычке проверять. А если не получается ни одно из геометрических заданий в начале работы, речь идёт уже о программе основной школы целиком, и это повод для занятий с преподавателем, а не для очередного варианта.

На первом занятии специалист обычно просит решить несколько задач разного вида и смотрит на первую строку, которую пишет ученик, а ответы оставляет напоследок. Начать поиск можно здесь:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике с пробным уроком
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ

Общий порядок работы над всей первой частью описан в статье про первую часть ЕГЭ по математике, следующий номер разобран в статье про второе задание, а устройство всей работы с обеими частями — в разборе структуры профильной математики. К слабым местам школьного курса, откуда растут и геометрические ошибки, ведёт статья про темы, которые западают чаще всего.

Вопросы и ответы

Нужны ли для первого задания теорема синусов и теорема косинусов? Они проходятся в девятом классе и могут понадобиться, когда треугольник задан двумя сторонами и углом между ними или тремя сторонами. Но значительная часть условий решается прямоугольным треугольником и площадью, без них, так что учить их стоит после основных формул. Если вы всё же дошли до них, запоминайте не только вид формул, но и то, в каких случаях они нужны: теорема косинусов даёт сторону по двум сторонам и углу между ними, теорема синусов связывает сторону с противолежащим углом и радиусом описанной окружности.

Можно ли пользоваться линейкой? Что разрешено иметь при себе, указано в спецификации экзамена текущего года, сверяйте по ней. Но даже когда линейка разрешена, мерить рисунок бессмысленно: он выполнен не в масштабе.

Как проверить ответ? Прикинуть. Сторона треугольника короче суммы двух других, острый угол меньше девяноста градусов, косинус острого угла лежит между нулём и единицей, площадь положительна и по порядку величины сравнима с произведением двух сторон. Полминуты такой проверки ловят ошибки порядка, например лишний ноль или потерянную запятую при переносе числа в бланк.