Задание 5 ЕГЭ по профильной математике

В четвёртом задании исходов столько, что их можно выписать. В пятом списка нет: либо событий несколько, и их сочетаний слишком много, либо исходы не равновозможны, и нужны правила, которые позволяют рассчитывать вероятность составного события через вероятности простых. Нумерация профильной математики менялась, и сложные события в сборниках разных лет стоят под разными номерами, поэтому номер и состав задания сверяйте по демоверсии своего года. Обычно здесь работают сложение и умножение вероятностей и полная вероятность; что ещё входит, покажет демоверсия.

Правил в этом задании немного, и у каждого есть простое условие применимости: перемножать можно одно, складывать другое, вычитать из единицы третье, если события противоположны. Вся трудность в том, чтобы проверить условие до того, как рука потянется к формуле. Я бы сказал, что пятое задание хорошо показывает, умеет ли ученик читать, а не только считать: арифметика здесь на уровне пятого класса, а ошибки делаются в первых двух строках.

Перед любым расчётом полезно обозначить события буквами. Пусть A означает «первая деталь бракованная», B — «вторая деталь бракованная». Пока события не названы, легко складывать вероятности, которые к одному и тому же событию вообще не относятся. С буквами видно, что «обе бракованные» записывается как A и B одновременно, а «хотя бы одна» как A или B.

Независимые события: перемножаем

Два автомата независимо друг от друга изготавливают детали. Первый даёт брак с вероятностью 0,02, второй с вероятностью 0,05. Нужно найти вероятность того, что обе детали, по одной с каждого автомата, окажутся бракованными. События независимы: то, что вышло у первого автомата, не влияет на второй. Тогда вероятности перемножаются, 0,02 на 0,05, то есть 0,001. Вероятность того, что обе детали годные, равна 0,98 на 0,95, то есть 0,931.

Типичный сбой — сложить вероятности: 0,02 плюс 0,05, получить 0,07 и записать это как вероятность «обе бракованные». Результат будет больше любой из исходных вероятностей, а событие «обе» не может быть вероятнее, чем «первая». Эту проверку полезно делать всегда: пересечение событий не вероятнее каждого из них. Она ловит почти любую путаницу правил, потому что неверное правило очень часто выдаёт число, которое по смыслу невозможно.

Если нужен ответ «ровно одна деталь бракованная», события разбиваются на два несовместных случая: бракованная первая и годная вторая, либо годная первая и бракованная вторая. Вероятность первого случая 0,02 на 0,95, то есть 0,019, второго 0,98 на 0,05, то есть 0,049; вместе 0,068. Здесь используются оба правила сразу: умножаем внутри случая, складываем между случаями.

Несовместные и совместные: складываем

Несовместными называют события, которые одновременно не происходят. Один выстрел не может дать и десятку, и девятку: если вероятность выбить десять очков 0,3, а девять 0,4, то вероятность выбить не меньше девяти равна сумме, то есть 0,7. Тут складывать можно без оговорок.

Если события могут произойти вместе, их вероятности складывают, но лишнее вычитают. Кофе в двух автоматах: вероятность того, что кофе закончится в первом, 0,3, во втором тоже 0,3, а в обоих сразу 0,15. Спрашивается, какова вероятность того, что кофе останется в обоих. Событие «хотя бы в одном закончится» имеет вероятность 0,3 плюс 0,3 минус 0,15, то есть 0,45, потому что случай «в обоих» иначе посчитан дважды. Искомая вероятность 1 минус 0,45 даёт 0,55.

Различать независимые события и несовместные ученики путают так часто, что я бы начал с одной оговорки. Это разные свойства, и они почти исключают друг друга. Если два события несовместны и ни одно из них не невозможно, то они зависимы: стоит одному произойти, как вероятность второго падает до нуля. А независимые события, наоборот, обычно совместны, потому что могут случиться вместе, и их вероятности перемножаются. Две полезные пометки на черновике: «вместе» означает умножение, «или» означает сложение.

Хотя бы один

Фраза «хотя бы один» почти всегда решается через противоположное событие. Вероятность того, что хотя бы одна из двух деталей бракованная, равна 1 минус вероятность того, что обе годные, то есть 1 минус 0,931, итого 0,069. Прямой путь складывает три случая и ошибается чаще: 0,001 плюс 0,068 тоже даёт 0,069, но при этом надо не забыть ни один из них.

С тремя событиями выигрыш заметнее. В фонаре три лампы, каждая независимо от других перегорает за год с вероятностью 0,2. Вероятность того, что перегорят все три, 0,2 в кубе, то есть 0,008. Вероятность того, что хотя бы одна лампа останется исправной, равна 1 минус 0,008, то есть 0,992. Прямой подсчёт потребовал бы разобрать семь комбинаций, и на каждой можно ошибиться. Приём стоит запомнить словами: вопрос «хотя бы один» заменяется вопросом «ни одного», а ответ вычитается из единицы.

Полная вероятность и дерево

Фабрика поставляет в магазин 60 процентов деталей, и брак среди них составляет 3 процента. Другая фабрика поставляет остальные 40 процентов с браком в 1 процент. Требуется найти вероятность того, что случайно выбранная деталь бракованная. Условие распадается на две несовместные ветви. По первой деталь пришла с первой фабрики и оказалась бракованной: 0,6 на 0,03, то есть 0,018. По второй со второй фабрики: 0,4 на 0,01, то есть 0,004. Вероятности ветвей складываются, ответ 0,022.

Удобнее всего рисовать дерево. От корня идут две ветки, на каждой подписана вероятность выбора фабрики, от каждой вырастают ещё по две ветки со словами «брак» и «годная». Вероятность листа получается умножением по пути, вероятность события равна сумме нужных листьев. Я советую рисовать дерево всегда, даже для двух событий, и запоминать формулы вторым делом: дерево защищает от пропущенного случая, а формула нет.

Если в задании спрашивают вероятность того, что деталь пришла с первой фабрики, при условии, что она оказалась бракованной, речь идёт об условной вероятности. Она считается делением: часть ветви на общую вероятность, то есть 0,018 на 0,022. Условная вероятность может встретиться в этом задании, и ответ там не всегда получается конечной дробью, поэтому условие обычно сразу указывает, до какого знака округлять; точную форму смотрите по демоверсии года.

Выбор без возвращения и запись ответа

Из пяти билетов два счастливых. Берут два билета подряд, не возвращая. Вероятность того, что оба счастливые: первый счастливый с вероятностью 2 из 5, затем из четырёх оставшихся один счастливый, то есть 1 из 4. Перемножаем: 0,4 на 0,25, получается 0,1. Важно, что второй множитель уже другой, потому что состав изменился. Если бы билет возвращали, было бы 0,4 на 0,4, то есть 0,16. Это и есть различие между зависимыми и независимыми событиями, прямое и осязаемое.

Подобные условия называют комбинаторными: они сводятся к подсчёту способов выбрать, и в сложных случаях применяются сочетания. Но для первой части достаточно последовательного рассуждения с меняющимся составом, а формулы сочетаний нужны, если способов много.

Отдельная потеря, не связанная с самими правилами, — округление в середине расчёта. Дробь 2 третьих, записанная как 0,67 и умноженная дальше, даёт ответ с ошибкой в третьем знаке, который уже не совпадёт с проверочным. Пока считаете, держите числа дробями или с большим числом знаков, округляйте только последнее число, и то лишь тогда, когда об этом просит условие. Бесконечный ответ без просьбы округлить означает, что где-то посчитано неверно.

Ещё одно наблюдение из практики разбора пробников. Ученик, который решил задание о фабриках верно, нередко записывает в бланк вероятность одной из ветвей вместо итоговой: остановился на полпути и решил, что дело сделано. Чтобы этого не случилось, в конце решения полезно прочитать вопрос задачи ещё раз вслух и сравнить его с тем, что вы нашли: ветвь это или всё событие целиком.

Когда сборник не помогает

Решение пятого задания держится на двух умениях: определить тип события и нарисовать дерево. Третье, от которого зависят оба, — перевод условия в события, и оно хуже всего поддаётся самостоятельной тренировке, потому что ошибку в переводе не видно по ответу. Если вы знаете правила, но ошибаетесь в выборе, это поправимо тренировкой на однотипных условиях: берите десять и для каждого пишите одну строку, независимые, несовместные или зависимые, ничего не считая. Если дерево не рисуется, потому что не понятно, что ветвится, нужен разбор с преподавателем: на бумаге его достаточно увидеть один раз.

Тема вероятности подробно описана в статьях про теорию вероятностей в школьном курсе и про теорию вероятностей на ЕГЭ. Начать поиск преподавателя:

• репетиторы по математике для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы по математике с пробным уроком
• все репетиторы для подготовки к ЕГЭ
• репетиторы для 10–11 класса

Соседние номера: четвёртое задание, без которого пятое не освоить, и шестое, где начинаются уравнения. Порядок работы над всей первой частью описан в статье про первую часть ЕГЭ по математике, устройство всего экзамена разобрано в статье про структуру профильной математики. Слабые темы школьного курса собраны в статье про то, что западает чаще всего.

Вопросы и ответы

Нужна ли формула Байеса? Формулу в явном виде знать, скорее всего, не потребуется: всё, что она говорит, видно на дереве, где нужная ветвь делится на сумму всех ветвей, ведущих к тому же событию. Стоит ли учить её для экзамена, решайте по демоверсии года: если там нет условий «при условии, что», достаточно дерева, а если есть, формула удобна как запись того же деления.

Как понять, независимы ли события? Спросить себя, меняется ли вероятность второго от того, что случилось с первым. Две монеты, два автомата, два стрелка, у которых каждый стреляет по своей мишени, — независимы. Два билета из одной стопки без возвращения, две карты из одной колоды, две детали из одной небольшой партии — зависимы, потому что первое извлечение меняет состав, из которого берётся второе.

Можно ли обойтись без дерева? Можно, если вы опытны, и на экзамене многие так и делают. Но пока вы готовитесь, я бы требовал дерево на черновике в каждом пробнике: оно экономит время на проверке, потому что ошибка в нём видна глазом, а в строке из формул её приходится искать. Привычка нужна и по другой причине: условие второй половины задания, где события связаны, без рисунка удаётся прочитать с трудом.

Какие ответы здесь чаще всего неверны? Те, где вероятность вышла больше единицы или где вероятность пересечения событий получилась больше вероятности каждого из них. Такие числа не бывают верными, и увидеть это можно без повторного расчёта.

Что делать, если ответ вышел бесконечной дробью? Перечитать условие: либо оно просит округлить до сотых, либо задача составлена так, что результат должен получиться конечным, и тогда где-то ошибка в событиях. Запись в бланке всегда десятичная, с запятой, без дроби с чертой и без процентов.